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Ficha temática

Intervalos e inecuaciones lineales

Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta. El siguiente recurso trata acerca de ellos. ¡Te invitamos a visitarlo!

Intervalos e inecuaciones lineales

1. Intervalos e inecuaciones lineales
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.

Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se
incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos.
Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.

La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo <  o  >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo mayor o igual, menor o igual (mayor o igual, o menor o igual).

Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes:
Ejemplo:
Todos los reales comprendidos entre a y b, sin  incluir a, ni b Todos los reales comprendidos entre a y b, sin  incluir a, ni b.
Todos los reales mayores que a, sin incluir a. Todos los reales mayores que a, sin incluir a.
Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n. Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.

Observa el esquema:

Tabla de intervalos

1.1 Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
                a < b            / ± c
         a ± c < b ± c

ejemplo 
              2 + x  >  16          / – 2 
                    x  >  14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:


           a < b            / • c (c > 0)
       a • c < b • c  

                                                 a > b             / • c (c > 0)
                                            a • c > b • c

Ejemplo 
                3 menor o igual 5 • x   / :5
                3/5 menor o igual x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5


3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:


        a < b              / • c (c < 0)
    a • c > b • c


a > b / • c (c < 0)
a • c < b • c

Ejemplo   15 – 3• x mayor o igual 39      / -15
                    - 3• x mayor o igual 39 – 15           /: -3
                         x menor o igual 24: (-3)
                         x menor o igual - 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.


2. Inecuaciones de primer grado
Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o  inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita.

A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6

Método 1:
Primero sumemos –3x a ambos lados
                x – 3x – 2 < – 6              
sumemos 2 en ambos lados
               x – 3x < 2 – 6
multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3

                   -2x < -4              
                      x > 2     Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo.

Método 2:
                x – 2 < 3x – 6              
Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados
                     -2 < 3x – x – 6 
Sumamos  6 en ambos lados
                    -2 <  2x – 6      
    

foto color
            inecuaciones INTERVALOS E INECUACIONES LINEALESCada año las personas utilizan más aparatos que funcionan con electricidad, los cuales dan comodidad, ahorran tiempo y facilitan la vida diaria. Pero los recursos que se usan para producir electricidad, como el carbón, el petróleo y el gas natural, no son ilimitados y una vez que los hemos consumido, la naturaleza no los puede recuperar. Con el tiempo, estos recursos naturales se acabarán, pero este proceso puede disminuir si se conserva la energía. Puede ahorrarse energía eléctrica al disminuir la pérdida de energía o reducir el uso de un aparato en particular. Un buen punto de partida para evaluar tu necesidad y uso personal de un aparato es el de la conservación de la energía. Como ejemplo, compara un horno convencional con uno de microondas.Ir a la actividad
Imagen de inecuaciones  INTERVALOS E INECUACIONES LINEALES



Descripción curricular:

- Nivel: 3.º Medio 

- Sector: Matemática

- Unidad temática: Álgebra y funciones

- Palabras clave: desigualdad, inecuación de primer grado, conjunto solución,

  intervalo, solución gráfica, propiedades de la desigualdad (aditiva y

  multiplicativa)

- Contenidos curriculares: 

- Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de

  los sistemas de inecuaciones, de la función cuadrática, de nociones de

  trigonometría en el triángulo rectángulo y de variable  aleatoria,

  mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de

  formulación, verificación o refutación de conjeturas. 

- Analizar información cuantitativa presente en los medios de

  comunicación y establecer relaciones entre estadística y probabilidades.

- Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de

  problemas y el análisis de situaciones concretas. 

- Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando

  sus propias capacidades. 

- Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca

  respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.

 

 

- Contenidos relacionados:

- 1.º Medio: 

Resolución de problemas. Gráficos, tablas de valores y expresión

   algebraica.

Operatoria algebraica. Generalización de la operatoria aritmética

   a través del uso de símbolos. Convención de uso de los

   paréntesis. Reducción de términos semejantes. Sintaxis del

   lenguaje algebraico.

Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de

   primer grado con una incógnita. 

Gráficos de distinto tipo; interpretación y lectura.

 

- 2.º Medio:

Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren

  sustitución de  variables por dígitos o números. 

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Gráfico de las rectas  correspondientes.

Representación, análisis y resolución de problemas

  contextualizados en situaciones como la asignación de precios por

  tramo de consumo, por ejemplo de agua, luz, gas. Variables

  dependientes e independientes.

Planteo y resolución de problemas y desafíos que involucren

  sistemas de ecuaciones. Análisis y pertinencia de las soluciones.

Relación entre las expresiones gráficas y algebraicas de los

  sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones.

 

- 3.º Medio:

Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. 

Intervalos en los números reales. 

Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una

  incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones.

Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales.

 

- 4.º medio:

Función potencia: y = a xn, a > 0, para n = 2, 3, y 4, su gráfico.

Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento

  para distintos valores de a.

Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos 

  correspondientes. Modelación de fenómenos naturales y sociales

  a través de esas funciones. Análisis de las expresiones

  algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial.

Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras. 

Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Crecimiento

  aritmético, y geométrico. Plantear y resolver problemas sencillos

  que involucren el cálculo de interés compuesto.

Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y

  gráfica.

 

- Aprendizajes esperados:

- Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. 

- Intervalos en los números reales. 

- Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una

  incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las

  soluciones. 

- Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Reconocen la definición de desigualdad.

- Aplican el concepto de desigualdad para resolver un ejercicio o problema.

- Evalúan una desigualdad reemplazando una incógnita por números reales y

  estableciendo su valor de verdad (verdadera o falsa).

- Traducen desde el lenguaje común hasta el lenguaje algebraico para escribir

  una desigualdad o una inecuación.

- Ordenan en forma creciente o decreciente los elementos de una desigualdad.

- Escriben una inecuación que cumpla con una condición dada.

- Analizan los posibles resultados que satisfacen una inecuación dada.

- Resuelven inecuaciones de primer grado, con una o dos incógnitas, aplicando

  propiedades aditiva y multiplicativa de las desigualdades.

- Reconocen el resultado de una inecuación en un conjunto solución.

- Reconocen el resultado de una inecuación en una desigualdad.

- Reconocen el resultado de una inecuación en una solución gráfica.

- Resuelven problemas de aplicación de las inecuaciones.

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante actividades de

  organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento

  lógico, con contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o

  procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de

  generalización a partir de relaciones observadas, por otro.

- Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad

  y utilizar el conocimiento y la información.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha temática: “Intervalos e inecuaciones lineales”.

- Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM3 “Álgebra y funciones”

 

Actividades propuestas para este tema:

Proponemos la actividad “¿Consume mucha energía?”, relativa a la solución de

inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas, aplicando propiedades de las desigualdades y escribiendo el resultado como una desigualdad, como conjunto solución, como un intervalo de números, o dibujando una solución gráfica.

 

ACTIVIDAD: ¿Consume mucha energía?

 

2H 

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa1

 

2. Desarrollo de la actividad: ¿Consume mucha energía?

 

Paso 1

Como actividad de motivación e introducción, pida a sus alumnos que

lean el texto inicial de la actividad:

 

Cada año las personas utilizan más aparatos que funcionan con

electricidad, los cuales dan comodidad, ahorran tiempo y facilitan la

vida diaria. Pero los recursos que se usan para producir electricidad,

como el carbón, el petróleo y el gas natural, no son ilimitados y una

vez que los hemos consumido, la naturaleza no los puede recuperar.

Con el tiempo, estos recursos naturales se acabarán, pero este

proceso puede disminuir si se conserva la energía.

Puede ahorrarse energía eléctrica al disminuir la pérdida de energía o

reducir el uso de un aparato en particular. Un buen punto de partida

para evaluar tu necesidad y uso personal de un aparato es el de la

conservación de la energía.

Como ejemplo, compara un horno convencional con uno de

microondas.

Los hornos tienen variedad de formas y tamaños y usan o desperdician

diferentes cantidades de energía para hacer el mismo trabajo. Por

ejemplo, un horno convencional desperdicia energía por el tiempo que

necesita para alcanzar la temperatura de cocción apropiada. La

energía también se desperdicia cuando el calor escapa del horno. Los

hornos de microondas son más eficientes en el uso de energía porque

la mayor parte de ella se dirige a la comida y no se desperdicia. Los

alimentos se cuecen más rápido en un horno de microondas que en

uno convencional. Sin embargo, aquéllos también desperdician un

poco de energía al convertir energía eléctrica en microondas.

 

Esta tabla hace una comparación en el consumo de energía en kilovatios-hora (kWh) de un horno convencional con uno de microondas. Lee la tabla y responde las preguntas.

 

Energía necesaria para cocinar alimentos en hornos

 

tabla 

 

Pida a sus estudiantes que respondan las siguientes preguntas expresando lo que piensan, fundamentando siempre su respuesta y dando ejemplos. Así, da oportunidad para que los estudiantes se manifiesten según sus propios conocimientos. Es recomendable ir escribiendo en la pizarra una síntesis de lo

que van diciendo.

 

1.  ¿Usan tú o los integrantes de tu familia un horno de microondas o uno

     convencional  para cocinar los alimentos en tu casa? ¿Por qué?

     Las respuestas pueden variar, pero sus alumnos deben entregar

     razones convincentes acerca de por qué en sus casas usan el tipo de

     horno que tienen.

     Tal vez: porque tienen de un solo tipo de horno; porque algunos

     alimentos no quedan tan sabrosos; porque no se doran en forma

     apropiada, etc.

 

2.  Igual que con muchos alimentos, es más eficaz hornear un küchen de manzana en un horno de microondas que en uno convencional. Considera “x = el ahorro de energía” cuando se hornea un küchen de manzana en un horno de microondas en lugar de hacerlo en un horno convencional. Entonces, escribe y resuelve una ecuación para calcular ese ahorro de energía.

 

                      1,8 – x  =  0,4  / - 1,8

              1,8 – x – 1,8  =  0,4 – 1,8

                             - x  =  - 1,4 / • (- 1)

                               x  = 1,4

 

Entrégueles bibliografía o direcciones en la red para que indaguen y corroboren sus respuestas.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible en el portal www.educarchile.cl.

Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la actividad. Las respuestas aparecen en azul. 

 

3.  Escribe y resuelve una ecuación para descubrir cuántas veces es más

     eficiente, en términos del consumo de energía hornear una pizza congelada (de 35 cm) en un horno de microondas que hornearla en uno convencional.

 

                0,2 x  =  0,8 / : 0,2

        0,2 x : 0,2  =  0,8 : 0,2

                     x  =  4

 

4.  Para calcular cuánto consumo de energía de microondas por cada tres pavos se necesitaría reducir para consumir la misma cantidad de energía al cocer un pavo en un horno convencional, resuelve:

 

                 3(1,9 – x) = 4,5

                 5,7 – 3 x   =  4,5 / - 5,7

          5,7 – 3 x – 5,7  =  4,5 – 5,7

                         - 3 x  =  - 1,2  / : -3

                 - 3 x : - 3   =  - 1,2 : - 3

                                x =  0,4

 

5.  Necesitas usar un horno de microondas para cocer cuatro alimentos para la cena. Si no quieres consumir más de 1,2 kWh de electricidad, en total.

     Selecciona un menú de los alimentos de acuerdo con la tabla. Para ello:

a. Escribe una inecuación para determinar bajo qué valor debe ser el kWh promedio al cocinar los cuatro alimentos.

 

                   4 x < 1,2 /: 4

             4 x : 4  <  1,2 : 4

                      x <   0,3

 

b.  Nombra los posibles alimentos del menú que puedes combinar para

     permanecer por debajo de un total de 1,2 kWh.

     Las respuestas son variadas de acuerdo con la selección de alimentos

     del menú que haga cada alumno. Una posible combinación podría ser:

     lenguado, porción de 4 papas, pan amasado y pastel.

 

6.  La mayoría de los alimentos necesita menos tiempo para cocinarse en un horno de microondas que en un horno convencional. ¿Cuáles son las razones para continuar usando los hornos convencionales?

     Las respuestas pueden ser variadas. Algunos alimentos necesitan casi la misma cantidad de kWh para cocinarlos tanto en horno convencional como en el de microondas (como la lasaña). Podría ser más eficaz cocinar varios alimentos al mismo tiempo en el horno convencional, cosa que no podría hacerse en el de microondas. Algunos alimentos no quedan tan sabrosos o no se doran en forma apropiada en el horno de microondas. Quizás no todas las familias cuentan con horno de microondas.

 

7.  Visita una tienda que venda artículos electrodomésticos grandes, como sistemas de aire acondicionado y refrigeradores. Notarás que algunos aparatos tienen adheridas etiquetas amarillas. Éstas tienen impresas las palabras “Guía de energía” o “Energuía” y unos números  como 8,5 (sistemas de aire acondicionado) ó 540 kWh/año (refrigeradores). ¿Qué relación existe entre los números y la conservación de la energía?

     Las etiquetas indican cuánta electricidad consume cada aparato

     electrodoméstico.

 

Ejercicios de selección múltiple

 

1) a > b  en  n  unidades si:

A) a = n + b

B) a = b – n

C) a = n

D) a = –n 

E) a = nb

 

2) ¿Cuál de las siguientes expresiones es siempre mayor que 10 si 5 < a < 10?

A) a

B) a – 1

C) 20 – a

D) 10 – a

E) a – 20

 

3)  Si n < 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es negativa?

A) –n

B) 2n

C) n2

D)

E) n – n

 

4)  ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)

 

     si  a = b,  c = d  y  d < e < a ?

 

I)  c  <  b        II)  b  =  d        III)  d  <  b

 

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) I  y  II

E) I  y  III

 

5) Si   A  = Imagen   y   B  =  Imagen,  ¿cuál de las siguientes expresiones es la menor?

A) A/B

B) B/A

C) A · B

D) B – A

E) B2 + A2

 

6)  Si   3 + 4 + 5 > 1 + 2 + 3 + n    n    Z,  entonces  n  no puede ser mayor que:

A)  –5

B)   5

C)  –4

D)   4

E) 12

 

7)  En enero la temperatura máxima no superó los 34 ºC. Si la temperatura máxima fue  tº,  entonces es correcta la relación:

A) tº > 34º

B) 34º

C) 34º

D) tº < 34º

E) 33º

 

Sean los racionales  a = Imagen,  b =  Imagen   y   c =  Imagen.  Si se dividen sus numeradores por 2 y se multiplican los denominadores por 2,  entonces un orden de menor a mayor está representado por:

A) a < b < c

B) c < b < a

C) b < c < a

D) b < a < c

E) a < c < b

 

9) No se cumple que Imagen si   a  =  ?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 1

 

10)  Sea  Imagen.  ¿Cuál es el mayor racional que

pertenece a  M?

A) Imagen

B) Imagen

C) Imagen

D) Imagen

E) No se puede determinar

 

11) Sea el conjunto Imagen. ¿Cuál de los siguientes números no

es elemento de S?

A) ½

B) 5

C) 4

D) 2

E) 1

 

12) La expresión Imagen puede quedar indefinida si  x  pertenece al conjunto:

A) { x N  /  1   x }

B) { x Z  /  1 <  x }

C) { x Z  /  –1  >  x }

D) { x Z  /  –1    x }

E) { x Z  /  –1  <  x  <  1 }

 

13) ¿Qué inecuación no puede resolverse con  a = 5?

A) 3 a – 2 > 10

B) 2 a + 3 < 15

C) 6 a < 30

D) 4 a > 20

E) Ninguna de las anteriores

 

14) Fernando tiene más edad que Álvaro. Jorge es menor que Claudio y

Álvaro es mayor que Claudio. ¿Cuál es el menor?

A) Claudio

B) Álvaro

C) Jorge