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Ficha temática

Ángulos opuestos por el vértice

Grupo de actividades que definen los ángulos opuestos por el vértice a partir del hecho que los ángulos adyacentes suman 180°. La actividad 3, contiene la formulación y demostración del teorema de ángulos opuestos por el vértice.

Ángulos opuestos por el vértice

El teorema referido a la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice es uno de los teoremas más simples en geometría. Se puede aplicar cada vez que dos rectas se cortan.

Si dos rectas se cortan, se forman 4 ángulos de menos de 180º. Los 4 ángulos tienen en común el vértice, que corresponde al punto en que se cortan las dos rectas.

Si las rectas son perpendiculares entre sí, los 4 ángulos son rectos. Si las rectas no son perpendiculares, 2 de los ángulos son agudos y 2 son obtusos.

Cada ángulo agudo tiene en común el vértice y un lado con cada uno de los ángulos obtusos. Y, a su vez, cada ángulo obtuso tiene en común el vértice y un lado con cada uno de los ángulos agudos. A su vez, un ángulo agudo y uno obtuso suman 180º ya que tienen un lado en común y los otros lados son partes de una misma recta.

En el caso de los ángulos formados por dos rectas que se cortan, se llaman ángulos opuestos por el vértice a cada uno de los pares de ángulos que tienen en común solo el vértice. Se puede demostrar que ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.

Ángulos



Texto

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

 

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Las demostraciones de teoremas geométricos constituyen ejemplos clásicos de razonamiento matemático. Si bien en años anteriores los estudiantes han tenido numerosas oportunidades de conocer formas de razonamiento matemático, el estudio de algunos teoremas geométricos, sus demostraciones y sus aplicaciones en la demostración de nuevos teoremas proporciona una muy buena oportunidad para que los estudiantes tomen conciencia de una forma de razonamiento que hasta ahora han realizado sin prestarle la debida atención.

Los teoremas de geometría tienen la ventaja que pueden mostrar la línea de razonamiento en una forma muy clara, lo que le da a la enseñanza de la geometría un valor especial en el marco de la educación matemática.

Pero para que las demostraciones geométricas puedan entregar su riqueza debemos cuidar la forma en que se presentan a los estudiantes. Es importante que los estudiantes se den cuenta de la fuerza del razonamiento que permite asegurar, si la demostración es correcta, que una determinada propiedad se cumplirá en todos los casos particulares en que sean válidas las condiciones establecidas en la hipótesis.

Es necesario resaltar la estructura “si p, entonces q” de los teoremas geométricos. Esta estructura nos permite asegurar que si se cumple p, también se cumplirá necesariamente q.

Gracias a los teoremas podemos obtener información que no está dada explícitamente. Así, por ejemplo, si puedo mostrar que un determinado triángulo es un triángulo rectángulo, entonces no solo puedo afirmar que uno de sus ángulos mide 90º. También puedo asegurar que el lado opuesto al ángulo recto es mayor que los otros dos lados, que los ángulos que no son rectos son necesariamente agudos, que su suma es necesariamente 90º, que la transversal de gravedad es igual a la mitad de la hipotenusa, que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, etc., etc., etc.

Lo importante no es que los estudiantes aprendan demostraciones y las puedan repetir. Lo importante es comprender la línea de razonamiento que lleva a demostrar lo que se quiere demostrar, comprender las consecuencias que se desprenden de las conclusiones logradas, visualizar las posibilidades de demostrar nuevos teoremas a partir de los ya demostrados, e incluso aplicar teoremas geométricos para resolver problemas del mundo real.

En el material para los estudiantes se presentan ejemplos de actividades que pueden servir de base para el logro de los objetivos relacionados con este tema. A continuación se destacan algunas orientaciones para el desarrollo de las actividades propuestas.

 

Actividad 1
Dos rectas que se cortan

Esta actividad prepara la introducción de los ángulos opuestos por el vértice y el teorema de igualdad asociado a ellos. Presenta la situación básica: dos rectas que se cortan. Llama la atención acerca de los ángulos que se forman e introduce letras griegas para designar ángulos.


Actividad 2
Ángulos opuestos por el vértice

En esta actividad se definen los ángulos opuestos por el vértice y se llama la atención a que cuando 2 rectas se cortan se forman 2 pares de ángulos opuestos por el vértice. A partir del hecho que los ángulos adyacentes suman 180º, se determina la medida de todos los ángulos formados cuando se conoce la medida de uno de ellos. Se subraya que entre los ángulos formados es posible destacar igualdad de dos pares de ellos.


Actividad 3
Un teorema para ángulos opuestos por el vértice

En esta actividad se demuestra y se formula el teorema relativo a la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice. Se recomienda desarrollar esta actividad lentamente y tratando que todos los estudiantes comprendan claramente el razonamiento involucrado. Es necesario subrayar asimismo que la demostración no solo es válida para el caso particular representado en la figura sino que puede repetirse para cualquier caso en que 2 rectas se cortan, de modo que el teorema tiene validez general.

Es útil en estos casos escribir el teorema con letras grandes y pegarlo en la pared o en el diario mural de modo que los estudiantes puedan tenerlo a la vista cada vez que se necesite. Debemos tener en cuenta que lo importante no es recordar su enunciado sino comprender su significado y poder aplicarlo cuando corresponda.


Actividad 4
Diagonales en un rectángulo

En esta actividad se propone una situación en que el estudiante puede determinar nueva información a partir del conocimiento de la medida de uno de los ángulos que forman las diagonales de un cuadrilátero.


Actividad 5
Tres rectas que se cortan en un punto

Esta actividad presenta otro ejemplo de aplicación del teorema relativo a la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice.

Información

Técnica

Descripción BreveGrupo de actividades que definen los ángulos opuestos por el vértice a partir del hecho que los ángulos adyacentes suman 180°. La actividad 3, contiene la formulación y demostración del teorema de ángulos opuestos por el vértice.
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>>Presentación: Ángulos

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelAsignaturaEje y habilidades
2° básicoMatemáticaGeometría

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