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Ficha temática

Cálculo del área de triángulos

La ficha ofrece un conjunto de actividades que apoyan la compresión del cálculo del área de un triángulo cualquiera. Se inicia desde actividades muy simples y llegan a conjeturar la fórmula general de cálculo de área.

Cálculo del área de triángulos

El cálculo del área del rectángulo como producto de la longitud de sus lados es la base para el establecimiento de procedimientos de cálculo para otras figuras geométricas. Así, por ejemplo, es posible deducir fórmulas para calcular el área de triángulos sobre la base del cálculo del área de un rectángulo.

La situación más simple se presenta en el triángulo rectángulo.

Consideremos el triángulo rectángulo ABC. Si trazamos por C una paralela al cateto AB y por B una paralela al cateto AC se forma el cuadrilátero ABDC.

Imangen 1

El cuadrilátero ABDC es un rectángulo, pues sus lados opuestos son paralelos y sus ángulos son rectos. Además, el triángulo BDC es congruente con el triángulo ABC pues sus tres lados correspondientes son respectivamente iguales. De modo que el área del triángulo ABC es la mitad del área del rectángulo ABDC.

El área del rectángulo ABDC es igual al producto de la longitud de los lados AB y AC, es decir, es igual al producto de la longitud de los catetos del triángulo ABC.

De aquí se desprende que el área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del producto de sus catetos.

A su vez, si en un triángulo cualquiera se traza una altura, se determinan 2 triángulos rectángulos a partir de los cuales es posible determinar el área del triángulo original.

Así, en el triángulo acutángulo ABC de la figura 1, el área del triángulo es igual a la suma de las áreas de los triángulos ADC y DBC.

imagen 4

El área del triángulo ADC es igual a imagen 2

El área del triángulo DBC es igual a imagen 3

Por lo tanto, el área del triángulo ABC será igual a:

imagen 9

en que c es la longitud del lado AB.

Tenemos así que el área del triángulo ABC es igual a la mitad del producto del lado AB por la altura CD.

El razonamiento puede repetirse para cualquiera de las 3 alturas del triángulo de modo que podemos generalizar diciendo que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de uno de sus lados por la altura correspondiente a ese lado.

La demostración anterior se desarrolló para un triángulo acutángulo. En el triángulo rectángulo y en el triángulo obtusángulo se dan pequeñas diferencias que conviene revisar.

En el caso del triángulo rectángulo la demostración anterior es perfectamente válida para la altura correspondiente a la hipotenusa, como muestra la figura 2.

imagen 5

En el caso de las otras 2 alturas sucede algo especial. La altura correspondiente al cateto AB es el cateto AC y, a su vez, la altura correspondiente al cateto AC es el cateto AB. Esto no varía la conclusión anterior, pues también en este caso se cumple que el área del triángulo será igual a la mitad del producto de un lado por su correspondiente altura.

En el triángulo obtusángulo, la demostración hecha para el triángulo acutángulo es totalmente válida para el caso de la altura correspondiente al ángulo obtuso. Pero las otras dos alturas caen fuera del triángulo, de modo que conviene revisar la demostración para determinar si sigue siendo válido el procedimiento de cálculo del área del triángulo.

imagen 6

En el triángulo obtusángulo ABC de la figura 3 se ha trazado una de las alturas que caen fuera del triángulo. Vemos que nuevamente la altura determina 2 triángulos rectángulos, el triángulo CDB y el triángulo CDA, pero esta vez el área de nuestro triángulo ABC es la diferencia entre ambos triángulos rectángulos.

El área del triángulo CDB es igual a imagen 7

El área del triángulo CDA es igual a imagen 8

Por lo tanto, el área del triángulo ABC será igual a:

imagen 9

Como vemos, cualquiera que sea el triángulo, su área es igual a la mitad del producto de un lado por la altura correspondiente.

Es posible llegar a la misma conclusión trazando paralelas a dos de los lados del triángulo de modo de completar un paralelogramo, como muestra la figura 4. El paralelogramo queda dividido en 2 triángulos que son congruentes. Por lo tanto, el área de uno de ellos es igual a la mitad del área del paralelogramo. Y, a su vez, el área del paralelogramo es igual al producto de uno de sus lados por la altura correspondiente.

Figura 4

Con frecuencia los estudiantes aprenden que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de “la base por la altura”. Este enunciado induce al error de pensar que todo triángulo tiene una “base” que correspondería al lado horizontal situado en la parte inferior del triángulo.

En triángulos, el término “base” se entiende en relación con una determinada altura y se refiere al lado al que llega la altura. Cualquier lado del triángulo puede ser considerado base puesto que a cada lado corresponde una altura. Así, el lado a es la base correspondiente a la altura ha, el lado b es la base correspondiente a la altura hb y el lado c es la base correspondiente a la altura hc.

Es necesario insistir en este punto pues, como se dijo, muchos estudiantes tienden a pensar que la fórmula de cálculo para el área de un triángulo es válida solo para un determinado lado del triángulo.

La fórmula para el área de un paralelogramo da origen a consideraciones muy similares. Se suele afirmar, correctamente, que el área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura. Nuevamente hay que entender el término “base” como correspondiente a una altura. La base de un paralelogramo es aquel lado del paralelogramo al cual llega la altura en cuestión. Y, por lo tanto, cualquier lado del paralelogramo puede hacer las veces de base.

CÁLCULO DEL ÁREA DE TRIÁNGULOS

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Cálculo del área de triángulos

A partir de la fórmula para calcular el área de un rectángulo es relativamente fácil encontrar una fórmula para calcular el área de un triángulo rectángulo. Y luego sobre la base de la fórmula para el área del triángulo rectángulo podemos obtener la fórmula para el área de cualquier triángulo.

Es importante desarrollar con los estudiantes estas demostraciones. De esa forma reforzamos la idea de que las matemáticas tienen una base lógica y que los procedimientos de cálculo y los teoremas que el estudiante aprende pueden ser demostrados y están plenamente justificados.

A su vez, el conocimiento y la comprensión de estas demostraciones van desarrollando en el estudiante formas básicas del razonamiento matemático.

Estos logros de aprendizaje tienen mayor trascendencia que la memorización y aplicación mecánica de procedimientos de cálculo de área de figuras geométricas. Por supuesto que una adecuada fluidez en el empleo de fórmulas de cálculo de áreas es altamente deseable, pero no puede hacerse en desmedro de la comprensión de su fundamentación y del desarrollo del pensamiento matemático.

Como se supone que en este nivel el estudiante todavía no está suficientemente familiarizado con expresiones algebraicas y sus posibles transformaciones, se dan aquí las demostraciones de las fórmulas de cálculo del área de triángulos en casos particulares. A partir de estos casos particulares se generalizan las conclusiones con ayuda de una fórmula.

En el material para los estudiantes se presentan ejemplos de actividades que pueden servir de base para el logro de los objetivos relacionados con este tema. A continuación se destacan algunas orientaciones para el desarrollo de las actividades propuestas.

ACTIVIDAD 1:
DOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS IGUALES

En este nivel el estudiante no posee los conocimientos geométricos que le permiten demostrar teóricamente que la diagonal de un rectángulo lo divide en 2 triángulos congruentes. Por eso se propone aquí una actividad empírica cuya generalización puede parecer razonable al estudiante. El punto a mostrar es que si se completa un rectángulo mediante paralelas a los catetos de un triángulo rectángulo, el área de ese rectángulo es el doble del área del triángulo rectángulo.

ACTIVIDAD 2
EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sobre la base de lo visto en la actividad anterior, se propone mostrar, a partir de un caso particular, que el área de un triángulo rectángulo se puede calcular como la mitad del producto de sus catetos. Se pide discutir la posibilidad de generalizar el procedimiento a cualquier triángulo rectángulo.

ACTIVIDAD 3
UNA FÓRMULA

La conclusión a que se llegó en la actividad anterior se expresa aquí mediante una fórmula. Las preguntas planteadas persiguen garantizar que el estudiante interpreta adecuadamente la fórmula.

ACTIVIDAD 4
UN TRIÁNGULO CUALQUIERA

Trabajando nuevamente en un caso particular, en esta actividad se muestra que la altura de un triángulo lo divide en 2 triángulos rectángulos y que la suma de sus áreas es igual al área del triángulo original.

ACTIVIDAD 5
UNA FÓRMULA GENERAL

El ejemplo de la actividad anterior sirve de base para establecer un procedimiento general para el cálculo del área de un triángulo cualquiera. Es importante que el estudiante logre una adecuada comprensión del camino seguido hasta establecer la fórmula correspondiente. El hecho de trabajar con un caso concreto facilita esta comprensión.

ACTIVIDAD 6
El CASO DEL TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

La demostración que se ha presentado en las actividades anteriores presupone que al trazar la altura ésta cae dentro del triángulo, lo que es válido para todo triángulo acutángulo. También es válido para una de las alturas del triángulo rectángulo y para una de las alturas del triángulo obtusángulo. En el caso del triángulo rectángulo, las otras dos alturas se confunden con los correspondientes catetos y la aplicación de la fórmula general coincide con la fórmula especial para el área del triángulo rectángulo. En el caso del triángulo obtusángulo, dos de las alturas caen fuera del triángulo. Esta vez, el área del triángulo es igual a la diferencia entre las áreas de los dos triángulos rectángulos formados. Sin embargo, al analizar la situación se puede concluir que la fórmula anterior es también plenamente aplicable a este tipo de triángulo.

ACTIVIDAD 7
UNA APLICACIÓN PRÁCTICA


Finalmente, esta actividad propone aplicar lo aprendido a una situación familiar para el estudiante. En el ejemplo dado, se requiere descomponer un trapecio isósceles en figuras cuya área podamos calcular. En este caso, conviene descomponer el trapecio en un rectángulo y 2 triángulos.

Información

Técnica

Descripción BreveLa ficha ofrece un conjunto de actividades que apoyan la compresión del cálculo del área de un triángulo cualquiera. Se inicia desde actividades muy simples y llegan a conjeturar la fórmula general de cálculo de área.
IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelAsignaturaEje y habilidades
5° básicoMatemáticaGeometría
6° básicoMatemáticaGeometría
5° básicoMatemáticaMedición
5° básicoMatemáticaHabilidades de pensamiento matemático/ Argumentar y comunicar
5° básicoMatemáticaHabilidades de pensamiento matemático/ Modelar
5° básicoMatemáticaHabilidades de pensamiento matemático/ Representar
5° básicoMatemáticaHabilidades de pensamiento matemático/ Resolver problemas
6° básicoMatemáticaMedición
6° básicoMatemáticaHabilidades de pensamiento matemático/ Argumentar y comunicar
6° básicoMatemáticaHabilidades de pensamiento matemático/ Modelar
6° básicoMatemáticaHabilidades de pensamiento matemático/ Representar
6° básicoMatemáticaHabilidades de pensamiento matemático/ Resolver problemas

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