Sigue a educarchile en

Cantidad de usuarios online 1.500.000

Recursos educativos interactivos

compartir

Ficha temática

Geometría del espacio

La geometría del espacio o Estereometría estudia los cuerpos y figuras cuyos elementos geométricos no están en un mismo plano. El siguiente recurso educativo te entrega los contenidos que debes aprender con respecto a esta materia.

Geometría del espacio

1. Geometría del espacio

La geometría del espacio o Estereometría estudia los cuerpos y figuras cuyos elementos geométricos no están en un mismo plano.

1.1 Teoremas y propiedades relativos a rectas en el espacio

Dos rectas en el espacio pueden ser paralelas, alabeadas o secantes.

1. Rectas paralelas

Rectas paralelas en un plano

Dos rectas paralelas siempre están contenidas en un mismo plano.

2. Rectas alabeadas

Rectas alabeadas en un plano

Dos rectas alabeadas no se interceptan, no son paralelas y no existe un plano que las contenga.
Se encuentran en planos paralelos, pero las rectas no son paralelas.

3. Rectas secantes

Rectas secantes en un plano

Dos rectas secantes son siempre coplanares (están en un mismo plano) y se intersectan en un punto.

1.2 Teoremas y propiedades relativos a planos en el espacio

Dos planos en el espacio pueden ser paralelos o secantes.

1. Planos paralelos

Planos paralelos

Dos planos paralelos no tienen puntos en común. La distancia entre ellos es constante. En los objetos que nos rodean, se pueden determinar planos paralelos; por ejemplo, el cielo de una casa y el suelo son planos paralelos. Hoy en día, la creatividad y el arte nos presentan diversidad de ángulos diedros y ángulos poliedros que armonizan en el mundo de la arquitectura moderna. Los edificios no siempre forman ángulos diedros que son rectos. Las estructuras artísticas en metal y madera son realizadas en una armonía que quiebra las estructuras recto-rectangulares.

fotografía blanco negro de un edificio con forma cuadrada

Fotografía blanco negro de un edicifio con fachada ovalada

2. Planos secantes

Planos secantes

Dos planos secantes se interceptan en una línea recta. El ángulo que forman se denomina ángulo diedro

Dos planos secantes se interceptan en una línea recta

Un ángulo formado por varios ángulos diedro y que tienen un mismo vértice y dos a dos un arista común se denomina ángulo poliedro.
 
Cada vértice de un cuerpo geométrico es ángulo diedro.

3. Planos y rectas perpendiculares

Dos rectas perpendiculares que pertenecen a un mismo plano, siempre son secantes, y se interceptan formando ángulos rectos en un plano.

Ilustración de planos y rectas perpendiculares

1.3 Recta perpendicular a un plano

Una recta es perpendicular a un plano si todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección de la recta con el plano son perpendiculares a ella.

Ilustración de recta perpendicular a un plano

En la figura, todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección de L con el plano son perpendiculares a L.

1.4 Planos perpendiculares

Dos planos son perpendiculares si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro plano. Los planos forman un ángulo diedro de 90º.

Dos planos son perpendiculares si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro plano

Ejemplo:
¿Cuántos ángulos diedros se pueden contar en un cubo? ¿Cuántos ángulo poliedro hay en el mismo cubo?
Cada arista es intersección de dos planos, por tanto tiene 12 ángulos diedros. Cada vértice del cubo genera un ángulo poliedro, por tanto el cubo tiene 8 ángulos poliedros.
 
Observa a tu alrededor y verás planos, rectas, cuerpos redondos que se interceptan o no se interceptan, paralelos, perpendiculares o secantes.

Sitios sugeridos

Ejercicios de planos y rectas:
http://www.educarchile.cl/medios/171220049558.doc  

Sólidos geométricos en el espacio: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_espacial 
http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro  

foto color
 ¡ESTAS RODEADO!Así como podemos relacionar el espacio de tres dimensiones con un volumen, también podemos establecer que en nuestro espacio existen planos, rectas y puntos, o sea, estamos rodeados de esos elementos. Imagínate que las calles representan rectas, que los edificios son cortes de planos y las personas puntitos multicolores. Por eso existe una especie de orden no definido. Se trabaja con él porque es entendible. Por ejemplo: un prisma es una figura en tres dimensiones que se produce al cortar dos planos paralelos por otros planos secantes. Esta idea está en estrecha relación con una caja de leche. Otro ejemplo es que cuando vas viajando por una calle y ésta pasa por debajo de otra, aquí las calles no se intersectan sino que se cruzan. Estos y muchos ejemplos más están al mirar por la ventana o al despertar. Es cosa que veamos lo que otros no ven, es decir, podemos educar la vista para ver con otra mirada los elementos que nos rodean a diario.Ir a la actividad
Imagen de conjuntos numéricos GEOMETRIA DEL ESPACIO


Descripción curricular:

Nivel: 4.° Medio 

Subsector: Matemática

Unidad temática: Geometría

Palabras clave: traslación, rotación, generados, volumen, esfera, cilindro, cono,

   prisma, cuerpo redondo

Contenidos curriculares: 

- Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de rectas

  y planos en el espacio, de volúmenes generados por rotaciones o traslaciones

  de figuras planas; ver y representar objetos del espacio tridimensional.

- Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al análisis de

  situaciones y a la resolución de problemas. 

- Reconocer y analizar las propias aproximaciones a la resolución de

  problemas matemáticos y perseverar en la sistematización y búsqueda

  de formas de resolución. 

- Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y que

  continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la necesidad de

  resolver problemas prácticos, pero también planteándose problemas

  propios, a menudo por el solo placer intelectual o estético.

 

- Contenidos relacionados:

- 1.º medio: 

- Resolución de problemas. Gráficos, tablas de valores y expresión

  algebraica.

 

- 2.º medio:

- Semejanza de figuras planas. Criterios de semejanza. Dibujo a escala en

  diversos contextos.

 

- 3.º medio:

- Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y

  gráfica.

 

- 4.º medio:

- Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. Planos en el espacio,

  determinación por tres puntos no colineales. Planos paralelos,

  intersección de dos planos. Ángulos diedros, planos perpendiculares,

  intersección de tres o más planos. Coordenadas cartesianas en el

  espacio.

- Aprendizajes esperados:

  Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos

  generados por rotación o traslación de figuras planas. Resolución de

  problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos

  geométricos, por ejemplo, uno inscrito en otro. 

  Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. Planos en el espacio,

  determinación por tres puntos no colineales. Planos paralelos,

  intersección de dos planos. Ángulos diedros, planos perpendiculares,

  intersección de tres o más planos. Coordenadas cartesianas en el espacio.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Reconocen planos en el espacio y sus posiciones.

- Reconocen rectas en el espacio y sus posiciones.

- Relacionan planos con elementos de la vida diaria.

- Relacionan rectas con elementos de la vida diaria.

- Reconocen ángulos que se generan por la intersección de dos planos.

- Dibujan distintos tipos de figuras relacionadas con la intersección de rectas,

  cruce de rectas, planos paralelos, etc.

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades de

  organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico,

  mediante contenidos y actividades orientados al aprendizaje de procedimientos. 

- Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad y

  utilizar el conocimiento y la información. 

- Desarrollan actitudes de rigor y perseverancia, así como de flexibilidad, originalidad y

  asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y aceptar consejos y críticas. 

- Incorporan en diversas actividades y tareas la búsqueda de información a través de

  redes de comunicación y el empleo de programas de computación.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha temática: “Geometría del espacio”.

- Diapositivas digitales (ppt): NM4 “Geometría”. 

 

Actividades propuestas para este tema:

Proponemos la actividad, “¡Estás rodeado!”, referente al estudio del lugar que

ocupan en el espacio los puntos, rectas y planos, las posiciones que tienen entre sí.

 

ACTIVIDAD: “¡Estás rodeado!”

 

2h 

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa

 

2. Desarrollo de la actividad: “¡Estás rodeado!”

 

Paso 1

Como actividad de motivación e introducción haga un comentario histórico

acerca de los primeros dibujos que hizo el hombre en tiempos de la prehistoria

y del avance que ha experimentado la humanidad con el paso de los años,

respecto a las diversas técnicas y recursos para representar el entorno hasta

llegar a las actuales animaciones en 3D. Enseguida, haga una relación entre

entorno y geometría para concluir que estamos rodeados de elementos

geométricos.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal www.educarchile.cl.

Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la

actividad. Las respuestas aparecen en azul. 

Entonces:

 

Así como podemos relacionar el espacio de tres dimensiones con un volumen,

también podemos establecer que en nuestro espacio existen planos, rectas y

puntos, o sea, estamos rodeados de esos elementos. Imagínate que las calles

representan rectas, que los edificios son cortes de planos y las personas

puntitos multicolores. Por eso existe una especie de orden no definido. Se

trabaja con él porque es entendible. 

Por ejemplo: un prisma es una figura en tres dimensiones que se produce al

cortar dos planos paralelos  por otros planos secantes. Esta idea está en

estrecha relación con una caja de leche. Otro ejemplo es que cuando vas

viajando por una calle y ésta pasa por debajo de otra, aquí las calles no se

intersectan sino que se cruzan. Estos y muchos ejemplos más están al mirar

por la ventana o al despertar. Es cosa que veamos lo que otros no ven,

es decir, podemos educar la vista para ver con otra mirada los elementos

que nos rodean a diario.

Observa las siguientes imágenes:

 

 

via1 

Fuente: www.plataformaurbana.cl/copp/albums/userpics/10082/pasarelas-y-pasos-bajo-nive.jpg

 

via2

 

Fuente: www.elcomercioonline.com.ar/imagenes/001656.jpg

 

 via3

 

Fuente: www.abiyoyo.com/guate/antigua/cruce_calles/cruce_calles2.jpg

 

Puedes investigar o averiguar con qué otras formas te relacionas a diario en la

vida urbana. Puedes hacer una lista de anotaciones y compararlas con tus

compañeros. Luego de haber hecho tus anotaciones responde estas preguntas.

 

I. De acuerdo con la figura adjunta, escribe: 

 

fig1

 

1)      El número de caras basales:           2

2)      El número de caras laterales:         7

3)      El número total de caras:               9

4)      El número total de vértices:         14

5)      El número de aristas laterales:       7

6)      El número de aristas basales:      14

7)      El número total de aristas:           21

8)      El número de ángulos diedros:     21

9)      El número de ángulos poliedros:  14

10)    El nombre del polígono lateral:    paralelogramo (rectángulo o cuadrado).

11)    El nombre de la figura basal:       heptágono.

 

 

 

II. De acuerdo con la figura adjunta, escribe: 

 

fig2

 

1)    El número de caras basales:          1

2)    El número de caras laterales:         5

3)    El número total de caras:               6

4)    El número total de vértices:           6

5)    El número de aristas laterales:       5

6)    El número de aristas basales:        5

7)    El número total de aristas:           10

8)    El número de ángulos diedros:     10

9)    El número de ángulos poliedros:    6

10)  El nombre del polígono lateral:      triángulo

11)  El nombre de la figura basal:        pentágono.

 

Preguntas de selección múltiple

 

1. Si dos rectas se intersectan, entonces necesariamente:

 

I. Están contenidas en un mismo plano

II. Son perpendiculares

III. Tienen un punto en común

 

¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es (son) verdadera(s)?

 

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y III

e) I, II y III

 

2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

 

I. Si dos rectas en el espacio no son paralelas, entonces necesariamente

se intersectan.

II. Si dos rectas distintas son secantes, entonces no pueden ser

paralelas.

III. Por tres puntos existe un único plano que los contiene.

 

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

 

3.  Un plano

P3 intersecta a dos planos paralelos P1 y P2 en dos rectas,

las cuales necesariamente son:

I) Perpendiculares  II) Paralelas  III)  Secantes

 

¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)?

 

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) I y III

e) Ninguna de ellas

 

4.  Si dos planos distintos son perpendiculares a un tercero, ¿cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a los

primeros planos?

I) Son paralelos       II) Son secantes       III) Son perpendiculares

 

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) II y III

e) Ninguna de ellas

 

IV. Dibuja en los recuadros siguientes lo que se pide.

 

1) Un plano cortado por una recta.

 

 fig4

 

 2) Un par de rectas que se cruzan en el espacio.

 

 fig5

 

 3)  Un par de rectas concurrentes.

 

fig6

 

4)  Un par de planos paralelos.

 

 fig7

 

 

5) Un par de planos que se cortan en una línea.

 

 fig8

 

Paso 3

Para concluir la actividad, puede referirse a la idea de que la intersección de

planos genera rectas, prismas o pirámides; la intersección de rectas genera

puntos. Refuerce los aprendizajes que presentan más problemas.

 

 

Información

Técnica

Descripción BreveLa geometría del espacio o Estereometría estudia los cuerpos y figuras cuyos elementos geométricos no están en un mismo plano. El siguiente recurso educativo te entrega los contenidos que debes aprender con respecto a esta materia.
Temas relacionadosÁrea y Volumen
Volumen de un cuerpo por rotación y traslación
Sistema Cartesiano y tridimensional
IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
4° medioMatemáticaGeometría

Archivos

Descarga

Queremos tu

Opinión