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Ficha temática

Volumen de un cuerpo por rotación y traslación

El siguiente contenido educativo trata sobre los volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. Contiene ejercicios, ejemplos y sugerencias metodológicas. Te invitamos a visitarlo.

Volumen de un cuerpo por rotación y traslación

1. Volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas

A continuación, veremos los cuerpos que se generan al rotar o trasladar algunas figuras planas.

1) Si un cuadrado se traslada en una dirección perpendicular al plano que lo contiene, se genera un paralelepípedo de base rectangular.

Imágen de un cuadrado y luego un paralelepípedo

2) Si un rectángulo se rota en torno de uno de sus lados, se genera un cilindro recto circular.

Ilustración del ejemplo dos

3) Si un círculo se traslada en dirección perpendicular al plano que lo contiene, se genera un cilindro recto circular. 

ilustración del ejemplo 3

4) Si un triángulo rectángulo se rota en torno a uno de sus catetos, se forma un cono recto circular. 

ilustración del ejemplo 4

5) Si un triángulo rectángulo se hace girar en torno a su hipotenusa, se forman dos conos unidos en la base.

Ilustración del ejemplo 5

6) Si un cuarto de un círculo se rota en torno a uno de sus radios frontera, se genera una semiesfera.

ilustración del ejemplo 6

7) Si un semicírculo se rota en torno a su diámetro, se genera una esfera. 

Ilustración del ejemplo 7

Ejemplo:

La figura está formada por un cuadrado de lado 4 cm y su semi circunferencia inscrita.

Figura formada por un cuadrado y una semi circunferencia inscrita

¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al girar la figura sombreada en torno al lado Lado A BE del cuadrado?
El cuadrado genera un cilindro de base y altura 4 cm:

Ilustración de formación del cilindro recto circular planteado en el ejercicio

El volumen del cilindro generado es, entonces, p • 42 • 4 = 64 p cm3.

El semicírculo genera una esfera de radio 2 cm, cuyo volumen es:


cuatro tercios por pi, por dos al cubo, es igual a: treinta y dos tercios por picm3.

Por lo tanto, el volumen pedido es: sesenta y cuatro por pi, menos treinta y dos tercios por pi, es igual a ciento sesenta tercios por picm3.

Sitios sugeridos  

http://www.geolay.com/movimientos/

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_isom%C3%A9trica

foto color
VOLUMEN DE UN CUERPO POR ROTACIÓN Y TRASLACIÓN Cada movimiento que hacemos a diario, es decir, mover, trasladar, girar, etc., está definido en tres dimensiones. Y esto ocurre porque cada elemento que nos rodea tiene volumen, aunque hay elementos que para nosotros siguen siendo planos, por ejemplo un triángulo, un cuadrado, etc. Aunque por más que los dibujemos en una hoja de papel y parezcan planos no lo son, ya que la hoja tiene un espesor determinado, un ancho y un largo, lo que genera volumen. No obstante, cabe destacar esto último, es decir, el hecho de que las figuras planas generan volumen. Pero, ¿cómo es esto posible? Si hacemos girar un rectángulo en 360° sobre su lado menor, obtenemos un cilindro de radio igual al lado mayor. Esto no solo sucede con el rectángulo sino con cualquier polígono o circunferencia (o parte de esta).Ir a la actividad
VOLUMEN DE UN CUERPO POR ROTACIÓN Y TRASLACIÓN


Descripción curricular:

- Nivel: 4.° Medio 

- Subsector: Matemática

- Unidad temática: Geometría

- Palabras claves: traslación, rotación, generación de cuerpos, volumen, esfera,

  cilindro, cono, prisma, cuerpo redondo

- Contenidos curriculares: 

Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de

   rectas y planos en el espacio, de volúmenes generados por

   rotaciones o traslaciones de figuras planas; ver y representar

   objetos del espacio tridimensional. 

Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al

   análisis de situaciones y a la resolución de problemas. 

Reconocer y analizar las propias aproximaciones a la resolución

   de problemas matemáticos y perseverar en la sistematización y

   búsqueda de formas de resolución.  

Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y

   que continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la

   necesidad de resolver problemas prácticos, pero también

   planteándose problemas propios, a menudo por el solo placer

   intelectual o estético.

 

- Contenidos relacionados:

 

- 1.º Medio: 

Traslaciones, simetrías y rotaciones de figuras planas.

  Uso de regla y compás; de escuadra y transportador; manejo de

  un programa computacional que permita dibujar y transformar

  figuras geométricas.

 

- 2.º Medio: 

Semejanza de figuras planas. Criterios de semejanza. Dibujo a

  escala en diversos contextos.

 

- 3.º Medio:

Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o

  distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en

  triángulos rectángulos. Análisis y pertinencia de las soluciones.

Uso de calculadora científica para apoyar la resolución de

  problemas.

 

- 4.º Medio: 

Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de

  cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas.

Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre

  cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.

 

- Aprendizajes esperados:

Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de

   cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas.

   Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre

   cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Conocen y utilizan vectores para representar la traslación de una figura

  geométrica.

- Conocen y utilizan la rotación de figuras planas sobre uno de sus lados en 360º.

- Resuelven problemas relativos al cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos

  generados por rotación o traslación de figuras planas.

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante actividades de

  organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento

  lógico, mediante contenidos y actividades orientados al aprendizaje de

  algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por

  un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro.

- Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad

  y utilizar el conocimiento y la información.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha temática: “Volumen de un cuerpo por rotación y traslación”.

- Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM4 “Geometría”.

 

Actividades propuestas para este tema:

 

Proponemos la actividad “Volumen 3d 3D”, relativa a la relación que se produce entre

las figuras 3D y el volumen que estas generan; volumen que se genera por traslación y

por rotación de figuras planas.

 

ACTIVIDAD:Volumen Imagen 3D

 

2H 

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa 

 

2. Desarrollo de la actividad:

Paso 1

Como actividad de motivación e introducción pida a sus alumnos que lean el

texto inicial de la actividad: Cada movimiento que hacemos a diario, es decir,

mover, trasladar, girar, etc., está definido en tres dimensiones. Y esto ocurre

porque cada elemento que nos rodea tiene volumen, aunque hay elementos que

para nosotros siguen siendo planos, por ejemplo un triángulo, un cuadrado, etc.

Aunque por más que los dibujemos en una hoja de papel y parezcan

planos no lo son, ya que la hoja tiene un espesor determinado, un ancho y un

largo, lo que genera volumen. No obstante, cabe destacar esto último, es decir,

el hecho de que las figuras planas generan volumen. Pero, ¿cómo es esto posible?

Si hacemos girar un rectángulo en 360° sobre su lado menor, obtenemos un

cilindro de radio igual al lado mayor. Esto no solo sucede con el rectángulo sino

con cualquier polígono o circunferencia (o parte de esta).

También generamos volumen al trasladar una figura plana mediante un vector

determinado. La forma más fácil de comprobar esto es ir apilando monedas iguales.

Suponiendo que cada moneda tiene forma de circunferencia, al apilarlas creamos

un cilindro de altura igual al total de las monedas apiladas.

 

Observa:

 

money

 

Entonces:

¿De qué manera se puede calcular el volumen de un cilindro?

 Pida a sus estudiantes que respondan esta pregunta expresando lo que

piensan, fundamentando siempre su respuesta y dando ejemplos. Así, da

oportunidad  para que los estudiantes se manifiesten según sus propios

conocimientos. Es recomendable ir escribiendo en la pizarra una síntesis

de lo que van diciendo.

Entrégueles bibliografía o direcciones en la red para que indaguen y

corroboren sus respuestas.

Averigua cuáles son las diferentes formas de calcular el volumen de un

cuerpo redondo o de un prisma.

Explique a sus alumnos que al hablar de tres dimensiones inevitablemente

hablamos de volumen. Y esto es tácito, ya que cualquier elemento de tres

dimensiones tiene un volumen. Luego, explíqueles que el volumen de

algunas figuras se puede producir por la traslación de ellas mediante un

vector, o también por la rotación de ellas según uno de sus lados.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal www.educarchile.cl. Respondan las preguntas de conocimiento,

cálculo y análisis contenidas en la Actividad. Las respuestas aparecen en azul. 

 

 

Ejercicios de selección múltiple

 

1.  El volumen del paralelepípedo de la figura es:

 

     1

    

     a) 21 cm3

     b) 80 cm3

     c) 90 cm3

     d) 150 cm3

     e) 300 cm3

 

2.  Una piscina rectangular tiene 7 m de largo, 4 m de ancho y 1,8 m

   de profundidad. ¿Cuántos metros cúbicos  puede contener?

     a) 50,4 m3

     b) 504 m3

     c) 5040 m3

     d) 50 400 m3

     e) 504 000 m3

     De la pregunta 3 a la 6 use Imagen

 

3.  ¿Cuántos cm3 de pintura contiene el envase de la figura?

 

     3

     a) 144 cm3

     b) 192 cm3

     c) 384 cm3

     d) 576 cm3

     e) 1728 cm3

 

4.  Al rotar un triángulo rectángulo de cateto 6 cm e hipotenusa 10 cm es:

 

     3

 

     a) 8 cm

     b) 48 cm3

     c) 72 cm3

     d) 84 cm3

     e) 120 cm3

 

5.  El volumen del cuerpo de la figura es:

 

     cono

 

     a) 36 m3

     b) 108 m3

     c) 144 m3

     d) 192 m3

     e) 576 m3

 

6.  Calcular el volumen del cuerpo que se genera al girar el triángulo

     rectángulo de la figura alrededor de su cateto mayor.

 

     cono

     a) 768 π cm3

     b)  192 π cm3

     c) 2304 π cm3

     d)  384 π cm3

     e) 2880 π cm3

 

7.  De los tres cuerpos dibujados es(son) prisma(s):

 

  cono

     a) Sólo I        

     b) Sólo II

     c) Sólo III

     d) I  y  II

     e) Todos

 

8.  Para hacer una piscina, se debe cavar un hoyo de 4 m de largo; 2,5 m

   de ancho y 1,5 m de profundidad. Si se dispone de una carretilla que

   puede transportar 0,15 m3 de tierra, ¿cuántos viajes se tendrán que hacer

   con la carretilla para sacar todo el material? (Considere sólo los viajes

   con material.)

     a) 10

     b) 100

     c) 1000

     d) 10 000

     e) Ninguna de las anteriores

 

9.  La cúpula de la Basílica de San Pedro en el Vaticano mide 42 m de

     diámetro. ¿Cuál es su volumen, si suponemos que es semiesférica?

     a) 12348 π m3

     b)    882 π m3

     c)  6174 π m3

     d)  3582 π m3

     e)  7056 π m3

 

 

10.  Determinar el volumen, en cm3, de una esfera de 6 cm de diámetro.

       a) 9 π cm3

       b) 12 π cm3

       c) 24 π cm3

       d) 36 π cm3

       e) 288 π cm3

 

11.  Calcular el volumen, en m3, de un depósito cilíndrico de radio 3 m y

       altura 4 m terminado en una semiesfera.

       a) 54 π m3

       b) 36 π m3

       c) 30 π m3

       d) 18 π m3

       e) Ninguna de las anteriores

 

12.  Un albañil llena por completo, con pintura, un recipiente cilíndrico de 20

       m de diámetro y 15 m de altura, por el que cobra 7500 pesos el metro cúbico.

     ¿Cuánto se le debe pagar por el trabajo realizado, considerando π= 3?

       a) $    225 000

       b) $    675 000

       c) $  1 125 000

       d) $  1 350 000

       e) $ 3 375 000

 

13.  Calcular el volumen, en cm3, de un cilindro de diámetro 10 cm y altura 12 cm.

       a)  1200 π

       b)  300 π

       c)   240 π

       d)   120 π

       e)   300

 

Paso 3

Para concluir la actividad, mencione la relación que existe entre el cono y el

cilindro, además del uso de la constante π cuando hablamos de volúmenes de

cuerpos generados por rotación. 

Analice los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos y refuerce los

aprendizajes que presentan más problemas.

Información

Técnica

Descripción BreveEl siguiente contenido educativo trata sobre los volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. Contiene ejercicios, ejemplos y sugerencias metodológicas. Te invitamos a visitarlo.
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IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
NM4 (4° medio)MatemáticasGeometría

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