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Ficha temática

Probabilidad de eventos compuestos y condicionada

El siguiente recurso educativo explica la probabilidad de eventos compuestos y las tablas de contingencia, materia de matemáticas en 3° medio. Te invitamos a revisarlo y a estudiar.

Probabilidad de eventos compuestos y condicionada

1. Probabilidad de eventos compuestos

1.1 Eventos incompatibles

Supongamos que tiras un dado y quieres determinar la probabilidad de que aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10.
Para que sea múltiplo de tres, tenemos los casos: 3, 6
Para que sea un divisor de 10, tenemos los casos: 1, 2, 5
Observa que es imposible que se cumplan ambos eventos, ya que no hay ningún elemento común. En este caso se dice que son eventos incompatibles.
La probabilidad de que aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10 es, entonces:

dos sextos, más tres sextos es igual a cinco sextos

En general,si A y B son eventos incompatibles, la probabilidad del evento “A o B” se calcula mediante la suma de sus probabilidades.
Se supone que puede ocurrir A o puede ocurrir B, pero la intersección es vacía, pues no hay elementos compatibles.

Por tanto: P(A U B) = P(A) + P(B)

1.2 Eventos compatibles

Supongamos ahora que vamos a extraer una carta de un mazo inglés de 52 cartas y queremos determinar la probabilidad de sacar un as o un trébol.
Para que sea un as hay cuatro posibilidades, pero la probabilidad es cuatro partido por 52

Para sacar un trébol hay trece posibilidades, pero la probabilidad es trece partido por cincuenta y dos


Pero en este caso hay un elemento que es común a ambos eventos (el as de trébol), y por lo tanto los casos favorables serían 4 + 13 –1 = 16; en términos de probabilidades sería equivalente a afirmar que:

Cálculo de probabilidad para el ejemplo anterior

Por lo tanto, si A y B son eventos compatibles, es decir, si pueden ocurrir ambos simultáneamente, la probabilidad se calcula mediante la suma de las probabilidades, menos la probabilidad de que se  cumplan ambos, esto es:

fórmula

1.3 Eventos independientes

Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.
Si tiramos una moneda tres veces, la probabilidad de que en todas las ocasiones salga cara responde a eventos independientes, ya que el resultado de un lanzamiento no afecta lo que vaya a ocurrir en el próximo.
Si configuramos un “diagrama de árbol” para el conteo de todas las posibilidades en el lanzamiento de tres monedas, obtenemos el siguiente gráfico:

Diagrama de árbol para el conteo de todas las posibilidades en el lanzamiento de tres monedas

Según este diagrama, la probabilidad de obtener tres resultados cara es un octavo,lo que es equivalente a multiplicar la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento:
P(cara, cara y cara) =

un medio, por un medio, por un medio es igual a un octavo

En términos de la frecuencia relativa, lo anterior es equivalente a pensar que al lanzar una moneda una cantidad de veces, la mitad de ellas saldría cara (idealmente) la mitad de estas veces volvería a salir cara en el segundo lanzamiento, y la mitad de estas saldría cara en la tercera oportunidad; por lo tanto, la mitad de la mitad de la mitad de los lanzamientos saldría cara. De aquí que la frecuencia relativa de las veces que saldría cara en los tres lanzamientos es:

un medio, por un medio, por un medio es igual a un octavo

En general, si A y B son eventos independientes, entonces la probabilidad de que ocurran ambos es igual a la multiplicación de sus probabilidades, es decir, se cumple que:

fórmula

1.4 Probabilidad condicionada

Supongamos que tenemos un ratón de laboratorio que se desplaza por el laberinto que se muestra en la siguiente figura:

Diagrama de árbol para un ratón de laboratorio que se desplaza por un laberinto

¿Cuál es la probabilidad de que pueda salir del laberinto si cada camino tiene la misma probabilidad de ser elegido por el ratón?

Al entrar, el ratón puede tomar indistintamente el camino A o B, por lo tanto: P(A) = 1/2 y P(B) = 1/2½.
Al llegar a A, la probabilidad de elegir el camino C o D es la misma; por lo tanto, la probabilidad de elegir el camino C, dado que eligió el camino A, lo que anotamos P(C/A), es 1/2; de la misma forma P(D/A) = 1/2.

La probabilidad de elegir los caminos C y A es:
P(A  C) = P(A) • P(C/A) = 1/2 • 1/2 = 1/4.
Por ejemplo, la probabilidad de que el ratón salga por W es igual a:
P(B  E) = P(B) • P(E/B) = 1/2 • 1/4 = 1/8.
Si calculamos cada una de las probabilidades, tenemos la siguiente situación:

Cálculo de probabilidad usando el diagrama de árbol para un ratón de laboratorio que se desplaza por un laberinto

Por lo tanto, la probabilidad de que el ratoncillo salga del laberinto es:

P(T o U o V) = P(T) + P(U) + P(V) = 1/8 + 1/4¼ + 1/8 = 4/8 = 1/2.

En general, la probabilidad del evento de que ocurra B sabiendo que ocurrió A: P(B/A) se calcula mediante la igualdad:

fórmula

Ejemplo:
En una tómbola hay 12 bolitas rojas y seis negras. Si se sacan dos en forma consecutiva, sin reponer la primera, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea negra?
La probabilidad de que la primera sea roja es 12/18 y de que la segunda sea negra, dado que la primera fue roja, es 6/17, por lo tanto:

fórmula

2. Tablas de contingencia

Supongamos que encuestamos a 90 personas de las cuales 2/3 son hombres y de ellos 2/5 fuman. Si se sabe que 1/3 de las mujeres fuman, hallar:
a) La probabilidad de que al elegir un encuestado al azar sea un hombre que fume.
b) La probabilidad de elegir un encuestado que no fume sabiendo que es mujer.

Para responder lo anterior, podemos utilizar la fórmula de la probabilidad condicionada:
a)  fórmula
b)  p parentesis nf partido por m cierre de parentesis es <IMG alt="dos partido por tres" src="/UserFiles/P0001/Imag

foto color
            PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS Y CONDICIONADA A menudo hablamos de la posibilidad de tener un trabajo mejor. O de pedir alguna oportunidad de subir nota, si es que estamos estudiando, o también de pedir permiso para ir a la casa de unos amigos. Pero todos estos sucesos están sujetos al estado de ánimo del jefe, del profesor y de nuestros padres. EN cierta forma estamos condicionados, por lo que no podemos pedirle un ascenso a nuestro jefe si éste peleó con su esposa o se enojó con alguien. Tampoco podemos pedirle una oportunidad a nuestro profesor, porque el Colo Colo perdió con O’Higgins, o a nuestros padres, porque tuvieron un mal día en su trabajo. Entonces, sería casi imposible que ocurrieran todas las posibilidades mencionadas, por lo cual antes de llegar a solicitar algo tendremos que indagar un poco más sobre el asunto concerniente a lo que queremos. Ir a la actividad

 

Imagen de conjuntos numéricos PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS Y CONDICIONADA



Descripción curricular:

Nivel: 3.° Medio 

Subsector: Matemática

Unidad temática: Estadística y probabilidad

Palabras claves: probabilidad, sucesos compuestos, eventos condicionados.

Contenidos curriculares: 

Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de

  los sistemas de inecuaciones, de la función cuadrática, de nociones de

  trigonometría en el triángulo rectángulo y de variable  aleatoria,

  mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de

  formulación, verificación o refutación de conjeturas. 

Analizar información cuantitativa presente en los medios de

  comunicación y establecer relaciones entre estadística y

  probabilidades.

Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de

  problemas y el análisis de situaciones concretas. 

Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando

  sus propias capacidades. 

Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca

  respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.

 

Contenidos relacionados:

- 1.º Medio: 

Resolución de problemas, estimaciones de cálculos, redondeos.

Uso de la calculadora.

 

- 2.º Medio: 

Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de

  una moneda; relación con el triángulo de Pascal. Interpretaciones

  combinatorias.

 

- 3.º Medio: 

Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos.

Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un

  experimento  estadístico.

 

- 4.º Medio: 

Muestra al azar, considerando situaciones de la vida cotidiana;

  por ejemplo, ecología, salud pública, control de calidad, juegos de

  azar, etc. Inferencias a partir de distintos tipos de muestra.

 

Aprendizajes esperados:

  Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos.

  Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un

  experimento estadístico.

  Resolución de problemas sencillos que involucren suma o

  producto de probabilidades. Probabilidad condicionada.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Resuelven problemas que involucren probabilidad condicionada.

- Reconocen los distintos tipos de probabilidades.

- Calculan la probabilidad de un evento compuesto y la probabilidad de un

  evento condicionado.

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante actividades de

  organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento

  lógico, mediante contenidos y actividades orientados al aprendizaje de

  algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios,

  por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro.

- Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la

  realidad y utilizar el conocimiento y la información.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha temática: “Probabilidad de eventos compuestos y condicionada”

- Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM3 Estadística y probabilidad. 

 

Actividades propuestas para este tema:

Proponemos la actividad “¿Puedo?”, relativa al estudio de los sucesos o eventos

compuestos definidos como suma o multiplicación de probabilidades.

 

ACTIVIDAD: “¿Puedo?”

 

2H 

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa

 

2. Desarrollo de la actividad:

 

Paso 1

Debe enfatizar en la diferencia que existe al hablar de probabilidades y al

hablar de eventos o sucesos. Antes de hacer un cálculo de probabilidades debe quedar muy claro cuál será el espacio muestral que se usará. Además, se debe reconocer con absoluta certeza el tipo de suceso al cual se hace referencia. Por ejemplo, si el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzar un dado” es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces se entenderá como imposible obtener como resultado una “cara”.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal www.educarchile.cl.

Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la

actividad. Las respuestas aparecen en azul. 

 

Entonces:

A menudo hablamos de la posibilidad de tener un trabajo mejor. O de pedir

alguna oportunidad de subir nota, si es que estamos estudiando, o también de

pedir permiso para ir a la casa de unos amigos. Pero todos estos eventos están

sujetos al estado de ánimo del jefe, del profesor y de nuestros padres. En

cierta forma estamos condicionados, por lo que no podemos pedirle un ascenso

a nuestro jefe si éste peleó con su señora o se enojó con alguien. Tampoco

podemos pedirle una oportunidad a nuestro profesor, porque el Colo Colo

perdió con O’Higgins, o a nuestros padres, porque tuvieron un mal día en su

trabajo. Entonces, sería casi imposible que ocurrieran todas las posibilidades

mencionadas, por lo cual antes de llegar a solicitar algo tendremos que indagar

un poco más sobre el asunto concerniente a lo que queremos.

 

Existe un popular dicho que señala: “Perro que ladra no muerde”. ¿Será cierto?

¿Existirá la posibilidad de que el perro solo ladre y no muerda; o de que ladre y haga el intento de morder; o de que ladre y muerda? Todas estas posibilidades están también condicionadas. Por lo tanto, para conocer más de las probabilidades condicionadas investiga en internet acerca de Thomas Bayes y sus escritos.

Luego resuelve los siguientes ejercicios de selección múltiple:

 

1.  En una bolsa se ponen 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12.

     Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5

     al sacar una de ellas.

     a) ½

     b) 1/3

     c) 1/6

     d) 1/18

     e) 0

 

2.  Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin

     devolver la primera carta al naipe.

     a) 1/26

     b) 1/352

     c) 4/663

     d) 1/221

     e) 3/674

 

3.  Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor

     que 5 ó mayor que 10?

     a) 1/72

     b) 1/12

     c) 1/4

     d) 1/6

     e) Ninguna de las anteriores

 

4.  Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa que

     contiene tres fichas rojas y cuatro blancas, con reposición, ambas sean

     fichas rojas.

     a) 3/4

     b) 2/7

     c) 6/49

     d) 1/7

     e) 9/49

 

5.  Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número

     impar o múltiplo de 3. 

     a) 1/2

     b) 2/3

     c) 1/3

     d) 1/6

     e) 5/6

 

6.  Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40

     cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes.

 

     a) 1/100

     b) 1/5

     c) 1/130

     d) 23/130

     e) 1/20

 

7.  Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los

     resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo

     de 4?

     a) 1/3

     b) 1/4

     c) 5/18

     d) 3/10

     e) Ninguna de las anteriores

 

8.  Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se

     obtenga ningún 6.

     a) 0

     b) 1/1296

     c) 10/3

     d) 2/3

     e) 625/1296

 

9.  En un naipe de 40 cartas se toman tres cartas distintas. Calcula la

     probabilidad de que sean números distintos.

     a) 1/64 000

     b) 3/40

     c) 1/59 280

     d) 4/3705

     e) 192/247

 

10.  Se tienen dos urnas con bolas. La primera contiene dos bolas blancas y

       tres bolas negras; mientas que la segunda contiene cuatro bolas blancas y

       una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es

       la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?

       a) 6/5

       b) 8/25

       c) 2/5

       d) 3/5

       e) 4/5

 

11.  La probabilidad de sacar un as o un káiser de un mazo de 52 cartas de

       naipe inglés es:

       a) 1/52

       b) 1/26

       c) 1/13

       d) 2/13

       e) 3/26

 

12.  Se lanza una moneda al aire dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que

       en los dos lanzamientos salga “cara”?

       a) 3/4

       b) 1/2

       c) 1/3

       d) 1/4 

       e) Ninguna de las anteriores

 

13.  En una caja con 10 números del 1 al 10, ¿cuál es la probabilidad de

       sacar el cinco o el seis?

       a) 2/100

       b) 1/5

       c) 2/90

       d) 1/90

       e) Falta información

 

14.  Un curso tiene 10 alumnos hombres y 20 mujeres. La mitad de los

       hombres y de las mujeres tienen los ojos castaños. ¿Cuál es la probabilidad

       de que una persona elegida al azar sea hombre o tenga los ojos castaños?

       a) 2/3

       b) 1/6

       c) 1/3

       d) 3/4

       e) 5/6 

 

15.  En un juego de ruleta se tienen dos discos giratorios. Un disco está

       marcado con las letras A, B, C, D, E y el otro disco está marcado con

       los dígitos 1, 2, 3, 4, 5. ¿Cuál es la probabilidad de hacer girar los dos

       discos y obtener una B y un número par?

       a) 2/32

       b) 3/22

       c) 3/25

       d) 2/35

       e) 2/25

 

Paso 3

Para concluir la actividad, se puede recalcar la diferencia que existe entre

probabilidad de eventos compuestos y probabilidad de  eventos condicionados.

Refuerce los aprendizajes que presentan más problemas.

Información

Técnica

Descripción BreveEl siguiente recurso educativo explica la probabilidad de eventos compuestos y las tablas de contingencia, materia de matemáticas en 3° medio. Te invitamos a revisarlo y a estudiar.
Temas relacionados

>>Ficha Temática: Probabilidad condicionada

>>Texto: Probabilidades

>>Ficha Temática: Tipos de eventos

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
1° medioMatemáticaDatos y azar
3° medioMatemáticaDatos y Azar

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