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Ficha temática

Triángulo rectángulo

El siguiente contenido esta dedicado a la materia de 3° medio: Triángulo rectángulo. Te invitamos a repasar y estudiar con sus imágenes, ejemplo y actividades.

Triángulo rectángulo

1. Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo
En el ∆ABC rectángulo en C, los tres triángulos son semejantes porque sus ángulos correspondientes son congruentes; por lo tanto, recordando Teoremas de Thales, los lados homólogos son proporcionales. Al realizar las proporciones, Euclides demuestra relaciones importantes entre los trazos a, b, c, h, p y q.

Dibujo uno: triángulo A BE CE recto en CE

Se pueden establecer las siguientes semejanzas:

1) ∆AHC : ∆ACB (son semejantes por criterio A,A)
ánguloCAH semejante ánguloCAB (tienen ángulo común)
ánguloAHC semejante ánguloACB (son ángulos rectos)

De esta semejanza, se obtienen las siguientes proporciones:

proporción uno

2) ∆BHC : ∆BCA (son semejantes por criterio A,A)
ánguloCBH semejante ánguloABC (tienen ángulo común)
ánguloBHC semejante ánguloBCA (son ángulos rectos)

De esta semejanza, se tiene:

proporción dos

3) ∆AHC : ∆CHB (son semejantes por criterio A,A)

ánguloCAH semejante ánguloBCH     (porque ánguloBCH = 90º - ánguloACH y ánguloCAH = 90º - ánguloACH)
ánguloBHC semejante ánguloBCA (son ángulos rectos)
De aquí se obtienen las proporciones:

proporción tres

2. Teorema de Euclides

De las razones anteriores se determinan las siguientes relaciones entre los trazos del triángulo rectángulo en C  y su altura hc que corresponden al Teorema de Euclides.

De 1): cu es a be como be es a ce entonces: be al cuadrado es igual a cu por ce

De 2): pe es a a como a es a ce entonces: a al cuadrado es igual a pe por ce

De 3): http://www.educarchile.cl/UserFiles/P0001/Image/Mod_3_contenidos_estudiantes_matematica_geometria/form%2006.jpg

2.1 Teorema de Euclides referente al cateto

El cuadrado de un cateto equivale al producto del cateto por la proyección de él sobre la hipotenusa.

Dibujo uno: triángulo A BE CE recto en CE   a2 = pc   b2 = qc
 

Ejemplos: Si a = 20 y  p = 12, entonces: 202 = 12• c. Luego c = 400 : 12 Flecha c = 33,3
               Si q = 8 y c = 18, entonces: b2 = 8• 18. Luego b2 = 144 Flecha b = 12


2.2 Teorema de Euclides referente a la altura

El cuadrado de la altura equivale al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

h2 = p• q

Dibujo uno: triángulo A BE CE recto en CE

Ejemplos: Si h = 4 y p = 8, entonces: 42 = 8• q. Luego  q = 16 : 8 Flecha q = 2
               Si p = 12 y q = 27, entonces: h2 = 12• 27. Luego h2 = 324 Flecha h = 18

Además de los teoremas anteriores, se puede obtener una importante relación para determinar la altura a través de los lados del triángulo rectángulo:
Del punto 2, tenemos que:

a es a ce como hache es a be, por lo tanto <IMG alt="hache es igual a: a por be partido por ce" src="http://www.educarchile.c

foto color
 Daniela sentada junto a presidenta Bachelet Euclides y sus ProyeccionesCarolina es una alumna muy aplicada en la clase de matemática y para poder avanzar más que sus compañeras decide estudiar por sí sola el teorema de Euclides. Lamentablemente, el enunciado del teorema la complica y no lo puede entender. Este dice que: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos determinados por la altura en la hipotenusa. Además, cada cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa y el segmento de ésta adyacente al cateto. Ir a la actividad
Imagen de conjuntos numéricos POTENCIAS 


 
Descripción curricular:

- Nivel: 3.° Medio 

- Subsector: Matemática

- Unidad temática: Geometría

- Palabras claves: triángulo rectángulo, catetos, hipotenusa, proyección, teorema

  de Euclides.

- Contenidos curriculares: 

- Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de

  los sistemas de inecuaciones, de la función cuadrática, de nociones de

  trigonometría en el triángulo rectángulo y de variable  aleatoria,

  mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de

  formulación, verificación o refutación de conjeturas. 

- Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de

  problemas y el análisis de situaciones concretas. 

- Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando

  sus propias capacidades. 

- Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca

  respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.

 

- Contenidos relacionados:

 

 1.º Medio: 

- Números racionales e irracionales.

- Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y

  circunferencia, relacionadas con congruencia. 

- Proporcionalidad directa e inversa; constantes de proporcionalidad;

su relación con un cuociente o un producto constante.

 2.º Medio: 

- Planteo y resolución de problemas relativos a trazos

  proporcionales. Análisis de los datos y de la factibilidad de las

  soluciones.

 3.º Medio: 

- Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en triángulos,

  cuadriláteros y circunferencia, como aplicación del teorema de

  Thales. Relación entre paralelismo, semejanza y la

  proporcionalidad entre trazos. Presencia de la geometría en

  expresiones artísticas; por ejemplo, la razón áurea.

 4.º Medio: 

- Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos correspondientes.

  Modelación de fenómenos naturales y sociales mediante esas

  funciones. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las

  funciones logarítmica y exponencial. Historia de los logaritmos; de

  las tablas a las calculadoras.

 

Aprendizajes esperados:

- Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la

  proporcionalidad en el triángulo rectángulo.

- Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

- Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias

  inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos

  rectángulos. Análisis y pertinencia de las soluciones. Uso de

  calculadora científica para apoyar la resolución de problemas.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Conjeturan sobre propiedades geométricas en triángulos rectángulos

  semejantes.

- Aplican el teorema de Euclides.

- Resuelven problemas que involucran propiedades de los triángulos

  rectángulos.

- Analizan las soluciones que obtienen y su pertinencia.

- Complementan el uso del teorema de Pitágoras con el teorema de Euclides.

- Identifican las proyecciones de la altura sobre la hipotenusa en el triángulo

  rectángulo.

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades

  de organización de datos, y las de resolución de problemas y de

  pensamiento lógico, mediante contenidos y actividades orientados al

  aprendizaje de algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de

  leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones

  observadas, por otro.

- Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la

  realidad y utilizar el conocimiento y la información.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha temática: “Triángulo rectángulo”

- Animación: “Segmentos proporcionales de un triángulo rectángulo”

- Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM3 Geometría. 

 

Actividades propuestas para este tema:

Proponemos la actividad “Euclides y sus proyecciones”, relativa al estudio del teorema

de Euclides, complementando el teorema de Pitágoras, conociendo las proyecciones

que se generan al trazar la altura y la pertinencia de las soluciones obtenidas.

 

ACTIVIDAD: Euclides y sus proyecciones

 

2H

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa1 

2. Desarrollo de la actividad: Euclides y sus proyecciones

 

Paso 1

Es fácil recordar el teorema de Pitágoras, ya que se usa durante todos los

cursos en el colegio. De manera complementaria se puede hacer mención al

teorema de Euclides, haciendo hincapié en que los resultados que se van a

obtener no necesariamente serán los correctos, sino que habrá que analizarlos

para poder generar una respuesta correcta, como por ejemplo que alguna de

las soluciones tenga un valor negativo.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal www.educarchile.cl.

Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la

actividad. Las respuestas aparecen en azul. 

Entonces:

Carolina es una alumna muy aplicada en la clase de matemática y para poder

avanzar más que sus compañeras decide estudiar por sí sola el teorema de

Euclides. Lamentablemente, el enunciado del teorema la complica y no lo

puede entender. Este dice que: 

 

En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa

es media proporcional geométrica entre los segmentos determinados

por la altura en la hipotenusa. Además, cada cateto es media

proporcional geométrica entre la hipotenusa y el segmento de ésta

adyacente al cateto.

 

Ya que Carolina es muy obstinada y no se rinde fácilmente, se da cuenta de

que una aplicación del teorema de Euclides es la representación de segmentos cuya longitud es un número irracional correspondiente a una raíz cuadrada no exacta (es decir, su resultado no es un número entero ni racional). Y para esto empieza a buscar relaciones que cumplan este enunciado. Al fin, llega a la conclusión de que si descomponemos 15 en dos factores, por ejemplo 15 = 3 • 5, y luego graficamos un segmento de longitud 3 + 5 = 8 unidades, podría llegar al resultado. El problema comenzaba a complicarse, ya que tenía que dibujar un triángulo rectángulo y no se le ocurría cómo hacerlo. En vista de ello, le pregunta a su pololo cómo resolver esta situación. Para jactarse de sus conocimientos matemáticos, éste le responde: “Dibuja una semicircunferencia.

Formamos un triángulo, que es rectángulo (pues todo ángulo inscrito en una

semicircunferencia es recto) y posteriormente levanta una perpendicular h al

diámetro en el punto de división”. 

Resulta una figura similar a la que se muestra a continuación.

 

caro 

Así, Carolina logró obtener que caro y además que caro.

 

Para obtener más conocimientos que Carolina, puedes averiguar más sobre el

teorema de Euclides y sobre la relación que existe entre la proyección entre

sus catetos y su hipotenusa.

Puedes ver las diapositivas digitales (ppt) disponibles en educarchile.cl

Matemáticas NM3 Geometría. 

Una vez concluidas tus averiguaciones, resuelve los siguientes ejercicios.

 

1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y uno de los catetos

tiene 6 m más que su proyección sobre la hipotenusa. Calcula los catetos.

Tiene dos soluciones la ecuación que se genera:

 

      form1

 

2. Un cateto de un triángulo rectángulo mide un metro menos que la

proyección del otro cateto sobre la hipotenusa. ¿Cuánto mide esta

proyección, si el otro segmento de la hipotenusa mide 9 m?

Tiene dos soluciones la ecuación que se genera:

 

                   form6

 

3. En la figura siguiente AD= 3 m. y AC = 5 m.

 

     El valor de BD es:

 

triangle

 

a) 16/ 3

b) 4/ 3

c) 25/ 3

d) 5√2

e) 5√2 3

 

4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm. y 4 cm. Determinar la

proyección mayor de los catetos sobre la hipotenusa.

a) 1,8 cm

b) 3,2 cm

c) 4 cm

d) 5 cm

e) 2,5 cm

 

5. En la figura siguiente, CD = 6 cm.; AD = 3 cm. Determina el área del triángulo ABC.

 

triangle

 

a)  9 cm2 

b) 12 cm2 

c) 15 cm2 

d) 18 cm2 

e) 45 cm2  

 

6. La altura hc de un triángulo ABC, rectángulo en C, es de 4 metros. Si los

segmentos determinados sobre la hipotenusa están en la razón 1:2,

¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

 

a) √2 m2

b) 22m2

c) 42m2

d) 62 m2

e) 122 m2

 

7. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. Determina la

altura del triángulo.

a) 9/ 5 [cm]

b) 12/ 5 [cm]

c) 16/ 5 [cm]

d) 5 cm

e) Ninguna de las anteriores

 

8. En el triángulo ABC de la figura,  BD = 3,2 m.;

  

    Ab = 5 m.;  BC = ?

 

triangle

 

a) 1,8 m

 

b) 3 m

 

c) 4 m

 

d) V576

 

e) 16 m

 

9. En la figura, AD = 5-1 cm;  BD = 2-1. La altura del triángulo ABC es:

 

triangle

 

a) 0,1 cm

 

b) V10 

 

c) V10 cm

 

d) 10 cm

 

e) Ninguna de las anteriores

 

 

10.  Ab = 12 cm; AD = 9 cm; BC = ?

 

triangle

 

a) 6 cm

b) 3√3 cm

c) 6√3 cm 

d) 36 cm

e) Ninguna de las anteriores

 

11.  Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 3:4. Si la

hipotenusa mide 10 cm, entonces el cateto menor mide:

a) 2 cm

b) 3 cm

c) 3.6 cm

d) 6 cm

e) 8 cm

 

 

12.  Ab = 10 cm;  AC = (p + 2) cm; BC = 2p cm;  CD = ?

 

triangle

 

a) 3.6 cm

b) 4 cm

c) 4.8 cm

d) 6.4 cm

e) 22.04 cm

 

13. En el triángulo rectángulo de la figura, CD, Ab, AC = 5 cm y AD 25 13; BD=?

 

triangle

 

a) 25

 

b) 13

 

c) 12

 

d) 144 13

 

e) N. A.

 

 

14. En la figura, el cateto  x  mide:

 

triangle 2

 

a) 30 cm

b) 25 cm

c) 9 cm

d) 6 cm

e) 4 cm

 

15. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que  c2 = ab?

 

triangles 3

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo III

d) I  y  III

e) Todas

 

Paso 3.

Para concluir esta actividad, puede recalcar la relación que existe entre el

teorema de Pitágoras y el teorema de Euclides. Además, destacar las

soluciones que se puedan encontrar, analizando los resultados aritméticos y

algebraicos obtenidos. 

Refuerce los aprendizajes que presentan más problemas.

Información

Técnica

Descripción BreveEl siguiente contenido esta dedicado a la materia de 3° medio: Triángulo rectángulo. Te invitamos a repasar y estudiar con sus imágenes, ejemplo y actividades.
Temas relacionados

>>Ficha Temática: Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo

>>Presentación: Geometría

>>Artículo: Pitágoras: la historia de un teorema

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
2° medioMatemáticaGeometría

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