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Ficha temática

Ecuación y Función cuadrática

Una ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la incógnita es 2. Te invitamos a estudiar esta materia de 3° medio con el siguiente recurso desarrollado por educarchile.

Ecuación Función cuadrática

1. Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la incógnita es 2. Es decir, es una ecuación de segundo grado, y al resolverla obtendrás dos soluciones posibles: x1  y x2 .      
La ecuación general de la ecuación de 2º grado o cuadrática es de la forma:

Ax2+ B x + C =0 (con A ? 0)

Para resolver una ecuación cuadrática existen diferentes métodos, dependiendo de los coeficientes numéricos A, B, C.

1.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas

1. Por factorización
Podremos resolver una  ecuación del tipo:   x2  - 12x -  28 = 0, por este método solo si el  trinomio puede ser factorizado. En este caso, buscando dos números que multiplicados den –28 y sumados den –12; (se buscan todos los pares de factores cuyo producto sea  28). En este ejercicio, los números son  -14 y 2, porque la suma de ellos es igual a  -12. Por lo tanto, la factorización es (x - 14)(x + 2) = 0. Como el producto es igual a 0, entonces (x – 14) = 0  o bien (x + 2) = 0.

A partir de esto se deduce que las soluciones son x = 14 y x = -2.

Recíprocamente, podemos generalizar que si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado, entonces  la ecuación (x – x1)• (x – x2) = 0 es un producto de binomios con 1 término común y corresponde a  x2 – x1• x – x2• x + x1• x2  = 0, que si se factoriza en x2 resulta:  x2 - (x1 + x2)• x + x1  x2 = 0. Es por esto que si el valor de A = 1, entonces B es el valor de la suma de las soluciones y C es el valor del producto de las soluciones.

Este método se puede aplicar en cualquiera de los trinomios factorizables, incluyendo binomios de la forma: X2 – B2. Por ejemplo: x2 – 81 = 0, el que se factoriza en producto de suma por diferencia: (x + 9)• (x – 9) = 0, determinando las soluciones x1 = -9 y x2 = 9.

2. Utilizando la fórmula
Todas las ecuaciones cuadráticas: ax2 + b x + c = 0   (con a ? 0) Se pueden resolver utilizando la   fórmula:

Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo:
Resolver la ecuación   x2 – 10x + 24 = 0
En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24. Reemplazando en la fórmula, obtenemos: 

Desarrollo de ecuación anterior 

determinando así las soluciones   x1 = 6 o x2 = 4

3. Por completación de cuadrados
Ejemplo:
Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0
Con los términos x2 y - 6x podemos formar el cuadrado de binomio  (x – 3)2
Pero nos faltaría el número 9, por lo tanto sumaremos 9 a ambos lados de la ecuación para formar el cuadrado de binomio:
x2 – 6x + 8 = 0           /+9
x2 – 6x + 9 + 8 = 9     / factorizamos el trinomio cuadrado perfecto 
(x – 3)2 + 8 = 9
(x – 3)2 = 1
Por lo tanto, (x – 3) = 1 o (x – 3) = -1, de lo que se deduce que    x1 = 4 o x2  = 2

4. Despejando la incógnita
En algunos casos en que sólo aparece la incógnita x, se puede despejar y calcular así las soluciones.
Ejemplo: 
(x + 8)2 + 15 = 136     / restamos 15
(x + 8)2 = 136 – 15     / aplicamos raíz en ambos miembros de la igualdad
x + 8 = raíz de 121, entonces x1 = 11 – 8 o bien x2 = -11 – 8, por  tanto : x1 = 3  y  x2 = -19   

1.3 Planteo de problemas con ecuaciones cuadráticas

Un número entero cumple con que el cuadrado del antecesor de su doble equivale a su cuadrado aumentado en 5. ¿Cómo plantearías la ecuación?
Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en:

(2x – 1)2 = x2 + 5

donde el binomio (2x – 1)2 corresponde al cuadrado del antecesor del doble de un número entero, y el binomio X2 + 5 corresponde al cuadrado del número entero aumentado en 5 unidades. 
Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática:
3x2 – 4x – 4 = 0
Utilizando la fórmula, con a = 3, b = -4 y c = -4

Desarrollo de ecuación anterior usando fórmula

Por lo tanto x1 = 2 o x2 = -2/3
Como el número que se pide es un número entero, la solución correcta solo es x = 2.
Ejemplo:
Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. ¿Cuánto mide la altura? (Te sugiero dibujes la situación)
Sea x la base, entonces su altura es x + 2, y su área:    

Ecuación que representa al área A

La ecuación que resuelve el problema es:

Solución a ecuación que representa al área A

Ordenando e igualando a cero, obtenemos la ecuación: x2 + 2x – 48 = 0
Factorizando: (x – 6)(x + 8) = 0  flecha  x = 6 o x = -8
Como x es una longitud, la solución descarta los números negativos, por lo tanto x = 6 (la base es 6) y la altura mediría 8 cm.  

1.4 Naturaleza de una ecuación cuadrática

Hemos visto que las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma: ax2 + bx + c = 0 con a ? 0, se pueden obtener según la expresión:

Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

La cantidad subradical: (b2 – 4ac) se llama discriminante y se denomina con la letra griega delta: ?. Nos permite determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática.
Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales;  si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales, y si ? es positivo, las soluciones son dos números reales y distintos.

Resumie

foto color ECUACIÓN - FUNCIÓN CUADRÁTICA Antonio sale de viaje por algunos días con su padre a Estados Unidos. Ha planeado visitar el Gran Cañón del Colorado, el Empire State Building y el puente Golden Gate de San Francisco. Antonio está muy expectante con la visita al Golden Gate, ya que le gustan los puentes que tienen conexiones curvas y aquí se puede ver uno de los mejores ejemplos de ellos. Le hace el comentario a su papá sobre los puentes que se han construido en Estados Unidos con conexiones curvas. El papá le explica que esas conexiones curvas se llaman parábolas, y que estas se pueden graficar mediante una función. Ir a la actividad
Imagen de conjuntos numéricos ECUACIÓN - FUNCION CUADRATICA



Descripción curricular:

   Nivel: 3.° Medio 

   Subsector: Matemática

   Unidad temática: Álgebra y funciones

   Palabras claves: función cuadrática, ecuación cuadrática, vértice, suma de

     raíces, multiplicación de raíces

   Contenidos curriculares: 

   Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de

     los sistemas de inecuaciones, de la función cuadrática, de nociones de

     trigonometría en el triángulo rectángulo y de variable  aleatoria,

     mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de

     formulación, verificación o refutación de conjeturas. 

   Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de

     problemas y el análisis de situaciones concretas. 

   Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando

     sus propias capacidades. 

   Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca

     respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.

 

Contenidos relacionados:

 

 1.º Medio: 

- Resolución de problemas. Gráficos, tablas de valores y

  expresión algebraica.

 

 2.º Medio: 

- Función afín y función lineal.

  Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del 

  intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de

  paralelismo y de perpendicularidad.

 

 3.º Medio:

- Uso de algún programa computacional de manipulación

  algebraica y gráfica.

 

 4.º Medio: 

- Función potencia: y = a xn, a > 0, para n = 2, 3, y 4, su

  gráfico. Análisis del gráfico de la función potencia y su

  comportamiento para distintos valores de a.

 

Aprendizajes esperados:

- Raíces cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de un cuociente.

Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el

denominador. 

- Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones:

 

y = ax2   

y = x2 ± a, a > 0,  

y = (x ± a) 2 a > 0 

y = ax2 + bx + c 

 

Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje x.

Resolución de ecuaciones de segundo grado por compleción de

cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas. 

- Función raíz cuadrada. Gráfico de: y = Vx enfatizando que los

valores de x deben ser siempre mayores o iguales a cero.

 

Identificación de Vx2

 

 Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y

 gráfica.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Relacionan la función cuadrática con la ecuación cuadrática.

- Evalúan una función cuadrática.

- Determinan el vértice de una parábola.

- Reconocen los elementos de una ecuación cuadrática.

- Resuelven una ecuación cuadrática obteniendo dos soluciones para la incógnita.

- Analizan las raíces (o soluciones) de una ecuación cuadrática.

- Relacionan la suma y la multiplicación de las raíces de una ecuación cuadrática

  con la ecuación que los determina.

 

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades de

  organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento

  lógico, mediante contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de

  algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por

  un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro.

- Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad

  y utilizar el conocimiento y la información.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha temática: “Ecuación y función cuadrática”

- Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM3 “Álgebra y funciones”

 

Actividades propuestas para este tema:

Proponemos la actividad “Puentes colgantes: una maravilla matemática”, referente al

estudio  de la función cuadrática, la obtención de puntos críticos de su gráfica, la resolución

de ecuaciones cuadráticas, significado e interpretación de sus soluciones o raíces.

 

ACTIVIDAD: Puentes colgantes: una maravilla matemática

 

2H 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa1

 

2. Desarrollo de la actividad: Puentes colgantes: una maravilla

matemática

 

Paso1

Está en boca de todos que a Chile le hicieron dos goles de tiro libre jugando en

contra de Argentina. Haga hincapié en que los tiros libres generan una curva

determinada por el efecto que lleva el balón. Luego, relacione la curva que

describe el balón con la parábola. Con este ejemplo puede enunciar que todo

lanzamiento vertical genera un máximo que posteriormente vuelve al mismo

nivel de donde éste fue lanzado y que ese lanzamiento también sigue una

trayectoria parabólica. Una vez puestos los ejemplos, puede hablar de la

relación que existe entre las parábolas y algunas construcciones

arquitectónicas como son los puentes, entre la unión de sus pilares mediante

los tensores y cómo estos generan mayor estabilidad durante un temblor o un

terremoto. Relacione la parábola con la función cuadrática y sus elementos. 

 

Paso 2.

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal www.educarchile.cl.

Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la

actividad. Las respuestas aparecen en azul. 

 

Entonces:

Antonio sale de viaje por algunos días con su padre a Estados Unidos. Ha

planeado visitar el Gran Cañón del Colorado, el Empire State Building y el

puente Golden Gate de San Francisco. Antonio está muy expectante con la

visita al Golden Gate, ya que le gustan los puentes que tienen conexiones

curvas y aquí se puede ver uno de los mejores ejemplos de ellos.

Le hace el comentario a su papá sobre los puentes que se han construido en

Estados Unidos con conexiones curvas. El papá le explica que esas conexiones

curvas se llaman parábolas, y que estas se pueden graficar mediante una función.

 

Observa las imágenes que le mostró Antonio a su padre y coméntalas.

 

puentes

 

puente 2

 

Fuente: http://caminos.udc.es/info/asignaturas/622/contenido_publico/recursos/P2_05_colgantes1.pdf

(orígenes de los puentes colgantes)

 

Investiga sobre la relación que existe entre la función cuádratica y la ecuación

cuadrática. Puedes revisar las siguientes direcciones en la red:

 

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Parabolas/Parabolas.htm 

 

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm 

 

Una vez concluida tu investigación, realiza los siguientes ejercicios:

 

1) f(x) = x2 + kx – 6 .   Si f (-3) = -3, entonces k =?

A) -40

B) 4

C) –6

D) –3

E) 2

 

2) Las soluciones de la ecuación :  x2 (2x – 1) (3x + 6) = 0 son:

A) 0

B) 0 y 1 2

 

C) 0 : 1 2  y –2

 

D) 1 2  y -1 2

  

E) 0: -1 2  y 2

 

3) Si la suma de las raíces de la ecuación  2x2 + kx + 8 = 0 es igual al

valor recíproco del producto de sus raíces, entonces k =?

A) 8

 

B)    1 4

 

C) -1 4

 

D) -1 2

 

E)    1 2

 

4) La ecuación y = x2 – 2x – 8 representa una parábola.  Su vértice tiene

coordenadas:

A) (1, -9)

B) (9, 1)

C) (0, -8)

D) (-1, 9)

E) (2, -8)

 

5) La ecuación: x2 – (k + 2) x + 2k = 0 tiene sus raíces inversas

multiplicativas si k =?

A) 0

B) 1/2

C) –2

D) -1/2

E) 2

 

6) Si las raíces de la ecuación: m x2 – 6x + 8 = 0 suman 3, entonces el

producto de las raíces es:

A)  -4

 

B)   4

 

C)   1 4

 

D) -1 4

 

E)     8

 

7) En un jardín rectangular de 20 x 60 se construyó una piscina dejando a

su alrededor una franja de ancho 2x. Si la profundidad de la piscina es x,

entonces el volumen de la piscina queda expresado por:

A) x(60 – 2x)(20 – 2x)

B) x(30 – 2x)(10 – 2x)

C) x(30 – 4x)(20 – 4x)

D) x(58 – 2x)(18 – 2x)

E) x(60 – 4x)(20 – 4x)

 

8) Para que una de las raíces de la ecuación (k – 3) x2 + 2k (x +1) +9 = 0

sea igual al triple del recíproco de la otra, el valor de k debe ser:

A)    0

B)    6

C)  –6

D) –12

E)  18

 

9) La ecuación x2 - √3x 6 = 0   tiene como solución:

 

A) 1 4

 

b) V32V3

 

C) V32V3

 

D) V5 2 V3

 

E) 3V3 2 3V3 2 

 

10) El valor absoluto de la diferencia de las raíces de la ecuación  x2 – 2x – 5 = 0

      es igual a:

A) 8

B) 4√6

C) 2√6

D) 1 + √6

E) 1 √6

 

11)  La ecuación de segundo grado que tiene raíces  alfa y beta tales que:

 

form a b   y   form a b 2 es:

 

A) 6x2 – 7x + 2 = 0

B) 6x2 – 7x + 1 = 0

C) 6x2 + 7x + 2 = 0

D) 3x2 – 7x + 1 = 0

E) 3x2 – 7x + 2 = 0

 

12)  ¿Dé cuál ecuación x1 y x2  son raíces o soluciones, si ellas satisfacen las 

 

igualdades form a b   y  form2x

 

A) 3x2 – x – 4 = 0

B) 3x2 – x + 4 = 0

C) 4x2 – x – 3 = 0

D) 4x2 – x + 3 = 0

E) 4x2 + x + 3 = 0

 

13)  Sea la función  m(x) = x2 + px.  Si m(-2) = 6, entonces m(2)=?

A) - 4

B) - 2

C) 2

D) 4

E) Ninguna de las anteriores.

 

14) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con

     respecto a la parábola de ecuación  y = 5 – 2x – 3x2

     I Corta ambos ejes coordenados.

     II Corta al eje x en dos puntos.

     III Corta sólo a uno de los ejes coordenados.

 

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) I y II

E) II y III

 

15)  Si  x1   y   x2  son raíces de la ecuación  2x2 – 3x + k = 0  donde se

cumple que  x1 + x2 – x1·x2 = 1  entonces k =?

A) 1

B) 2

C) –1

D) –4

E) –5

 

16)  Sea f: IR tal que f(x)= x2 – 2x + 3.  Si f(x)= 2, entonces el valor

de x es:

A) 1

B) 2

C) 3

D) –1

E) –2

 

17)  Si  f(x) = 2x2 – 5,  entonces  f(x+1) – f(x)  es:

A) 1

B) 4x + 2

C) 2 (x + 1) 2

D) 2x2 + 4x – 3

E) 4x – 3

 

Paso 3

Para concluir esta actividad, puede recalcar la relación que existe entre función

cuadrática y ecuación cuadrática. Además, destacar la interpretación que se

asigna a las raíces de la ecuación cuadrática y el significado de los interceptos

de la gráfica con los ejes en la función cuadrática.

Analicen los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos. Refuerce los

aprendizajes que presentan más problemas.

 

Información

Técnica

Descripción BreveUna ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la incógnita es 2. Te invitamos a estudiar esta materia de 3° medio con el siguiente recurso desarrollado por educarchile.
Temas relacionados

>>Ficha Temática: Ecuación cuadrática

>>Texto: Ecuaciones cuadráticas

>>Sitio: Funciones

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
2° medioMatemáticaÁlgebra

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