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Ficha temática

Raíces y Potencias

Para estudiar las raíces te invitamos a revisar el siguiente recurso educativo desarrollado por educarchile. ¡Verás que es muy sencillo!

Raíces

1. Raíces cuadradas y cúbicas

Comencemos el estudio de las raíces haciéndonos la siguiente pregunta:
Si el área de un cuadrado es 64 cm2, ¿cuál es la medida de su lado?
Para responder esto debemos encontrar un número positivo que multiplicado por sí mismo dé cómo resultado 64. Este número se denomina raíz cuadrada de 64 y es 8.
Y si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su lado?
Para responder esto debemos encontrar un número positivo que multiplicado por sí mismo dé 15. Este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729.
Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que: raíz cuadrada de a es igual a be, entonces be al cuadrado es igual a  a

Por otro lado, la igualdad: raíz de equis cuadrado es igual a equisse cumple solo si x > 0, ya que si tenemos raíz de menos tres al cuadrado, esto no es igual a -3, porque el resultado de la multiplicación de dos números negativos es un número positivo.

Por lo tanto: raíz de equis cuadrado es igual al valor absoluto de equis Para cualquier valor real de x.

¿Existe, entonces, la raíz cuadrada de un número negativo? Y si existe, ¿cómo se calcula? Si en la raíz: raíz de a, a es negativo, entonces la raíz no es un número real, y se debe determinar como un número imaginario.

Por ejemplo:

ejemplo siendo ejemplo

Las raíces cuadradas de números negativos no están definidas en los números reales y aunque en algunas calculadoras científicas al tratar de calcularlas aparece ERROR, esto significa que no tiene valor en R (reales) porque es un número imaginario.

Y si el volumen de un cubo es 64 cm3, ¿cuál es la medida de su arista?
Para responder esto debemos encontrar un número positivo que multiplicado por sí mismo tres veces, sea 64. Este número se denomina raíz cúbica de 64 y es 4, puesto que   4 • 4 • 4  = 64.
Por lo tanto, si la raíz es cúbica, tenemos que: raíz cúbica de a es igual a be, entonces be al cubo es igual a a

En este caso, si a es negativo, entonces b resulta ser también negativo, porque el resultado de la multiplicación de tres números negativos será otro negativo. Por otro lado, si a es positivo, b también será positivo, debido que al multiplicar tres números positivos, el resultado tendrá signo positivo.
Por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real.

Definiendo en forma general:

raíz cubica definida para todo número real

Raís cúbica definida para todo número real

2. Raíces y potencias de exponente fraccionario

La raíz de número se puede definir también mediante una potencia de exponente fraccionario: 

raíz enesima de a eleveado a eme es igual a a elevado a eme partido por ene

Donde n es el índice de la raíz, y m el índice de la cantidad sub radical.
Como vimos anteriormente, cuando no aparece n (índice de la raíz) se entiende que su valor es dos (raíz cuadrada).
Esta definición está sujeta a las siguientes restricciones:
- Las raíces de índice par están definidas solo para números reales positivos.
- Las raíces de índice impar están definidas para todo número real.

Debido a que las raíces pueden convertirse en potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias.

3. Propiedades de las raíces

1. Multiplicación de raíces de igual índice 
multiplicación de raíces ya que a elevado a 1 partido por natural, por b elevado 1 partido por natural es igual a ab elevado a uno partido por natural

2. División de raíces de igual índice 
división de raíces ya que división de raíces

3. Raíz de raíz 

raíz de raíz

4. Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice 
Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice ya que raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice

5. Propiedad de amplificación 
Propiedad de amplificación de raíces ya que Propiedad de ampliación

6. Ingreso de un factor dentro de una raíz 
Ingreso de un factor dentro de una raíz ya que Ingreso de un factor dentro de una raíz
 
Además: raíz de cero elevado a n ya que  0 n = 0 ; y raíz de uno elevado a n igual 1 ya que  1n = 1

Observación: las propiedades a

foto color
            RAÍCESLa comuna de La Reina se encuentra ubicada en el Sector Oriente de la Región Metropolitana, en la precordillera, y se desarrolla en terrenos con pendientes crecientes hacia la zona alta. La Reina inicia su poblamiento de poniente a oriente, a través de los ejes de penetración hacia la cordillera, formados por las vías de acceso a las parcelas que allí existían tiempo atrás. Este perfil semirrural se ha mantenido hasta ahora, lo que le da a la comuna un carácter urbano con una identidad propia, que sus habitantes no desean transformar. Ir a la actividad
Imagen de conjuntos numéricos  RAÍCES


Descripción curricular:

- Nivel: 3.º Medio 

- Sector: Matemática

- Unidad temática: Álgebra y funciones

- Palabras clave: triángulo rectángulo, cateto, hipotenusa, potenciación, potencia,

base, exponente, potencia al cuadrado, potencia n-ésima, radicación, índice,

cantidad subradical, raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz n-ésima.

 

- Contenidos curriculares: 

Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de

los sistemas de inecuaciones, de la función cuadrática, de nociones de

trigonometría en el triángulo rectángulo y de variable  aleatoria,

mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de

formulación, verificación o refutación de conjeturas. 

Analizar información cuantitativa presente en los medios de

comunicación y establecer relaciones entre estadística y probabilidades.

Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de

problemas y el análisis de situaciones concretas. 

Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando

sus propias capacidades. 

Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca

respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.

 

- Contenidos relacionados:

- 1.º Medio: 

Resolución de problemas. Gráficos, tablas de valores y

  expresión algebraica. 

Potencias de base un entero, un decimal o una fracción

  positiva y exponente un entero. Multiplicación de potencias.

 

Planteo y resolución de problemas que involucren

  ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Operatoria algebraica. Generalización de la operatoria

  aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso

  de los paréntesis. Reducción de términos semejantes.  Sintaxis

  del lenguaje algebraico. 

Análisis de fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes en

  relación con la incidencia de la variación de los elementos lineales

  y viceversa.

 

- 2.º Medio:

Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que

  involucren sustitución de variables por dígitos o números. 

Potencias con exponente entero. Multiplicación y división

  de potencias. Uso e interpretación de paréntesis. 

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos

  incógnitas. Gráfico de las rectas correspondientes.

 

- 3.º Medio:

Raíces cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de un

  cuociente. Estimación y comparación de fracciones que tengan 

  raíces en el denominador. 

Función raíz cuadrada. Gráfico de: y = VX enfatizando que los

   valores de x deben ser siempre mayores o iguales a cero.

 

   Identificación de VX2.

 

4.º Medio:

Función potencia: y = a xn, a > 0, para n = 2, 3, y 4, su

  gráfico. Análisis del gráfico de la función potencia y su

  comportamiento para distintos valores de a. 

Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos 

  correspondientes. Modelación de fenómenos naturales o sociales

  a través de esas funciones. Análisis de las expresiones

  algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial.

Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras.

 

Aprendizajes esperados:

- Raíces cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de un

cuociente. Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces

en el denominador. 

- Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones:

 

y = ax2 

  

y = x2 ± a, a > 0,

 

y = (x ± a)2 a > 0 

 

y = ax2 + bx + c

  

Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje x.

Resolución de ecuaciones de segundo grado por compleción de

cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas. 

 

- Función raíz cuadrada. Gráfico de: y = VX,  enfatizando que los

  valores de x deben ser siempre mayores o iguales a cero.

 

  Identificación de VX2. 

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Deducen que conociendo el área de un cuadrado, calcularán la medida del lado

  usando raíz cuadrada.

- Deducen que teniendo un triángulo rectángulo y conociendo la medida de dos

  de sus lados, calcularán la medida del otro lado usando el teorema de Pitágoras

  y la raíz cuadrada de ese resultado.

- Calculan raíz cuadrada de un número.

- Utilizan la definición de raíz n-ésima para calcular el valor de una expresión.

- Evalúan expresiones que contienen raíces cuadradas o cúbicas.

- Aplican las propiedades de raíces para reducir expresiones.

- Resuelven sistema de dos ecuaciones en que los términos de cada ecuación

  incluyen dos raíces cuadradas.

- Resuelven ecuación irracional.

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades de

  organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento

  lógico, mediante contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de

  algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por

  un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro.

- Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad

  y utilizar el conocimiento y la información.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha temática: “Raíces”.

- Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM3 “Álgebra y funciones”. 

 

Actividades propuestas para este tema:

Proponemos la actividad “¿Cuánto debo caminar?”, referente al uso del concepto de

radicación, evaluación de expresiones que incluyen raíces, uso de raíces para resolver

ejercicios y problemas de aplicación, aplicación de las propiedades de raíces.

 

ACTIVIDAD: ¿Cuánto debo caminar?

 

2H 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa1 

 

2. Desarrollo de la actividad: ¿Cuánto debo caminar?

 

Paso 1

Como actividad de motivación e introducción pregunte a los estudiantes: 

- ¿Cómo saber las distancias que caminamos?

 

Deje que los estudiantes piensen algunos minutos y luego pídales que lean

el texto inicial de la guía para el estudiante (disponible en el portal

educarchile.cl). 

 

El texto se encuentra a continuación:

 

La comuna de La Reina se encuentra ubicada en el Sector Oriente de la

Región Metropolitana, en la precordillera, y se desarrolla en terrenos

con pendientes crecientes hacia la zona alta.

La Reina inicia su poblamiento de poniente a oriente, a través de los

ejes de penetración hacia la cordillera, formados por las vías de acceso

a las parcelas que allí existían tiempo atrás. Este perfil semirrural se ha

mantenido hasta ahora, lo que le da a la comuna un carácter urbano

con una identidad propia, que sus habitantes no desean transformar.

El territorio de la comuna (23,4 km2) se encuentra ubicado sobre

terrenos con pendientes crecientes hacia la zona alta, desde 608 m

sobre el nivel del mar en su extremo más bajo, hasta 2000 m

aproximadamente, en su entorno más alto.

La superficie comunal es cruzada por los canales San Carlos, De

Ramón, Las Perdices y El Bollo, que son cauces de riego, recepción y

transporte de aguas lluvias. 

El clima es el de la ciudad de Santiago: templado mediterráneo, con

una estación lluviosa en invierno y un verano seco y prolongado.

Las precipitaciones varían entre los 200 mm y 479 mm de aguas

lluvias anuales.

 

La temperatura media alcanza a los 14,4 °C.

Por su ubicación dentro de la ciudad de Santiago y su cercanía a la

cordillera de Los Andes, la comuna de La Reina se beneficia respecto de

los problemas de polución atmosférica. 

Según el censo del 2002, La Reina cuenta con una población de 96 762

habitantes y tiene un total de 25 768 viviendas. De sus 96 762

habitantes, 44 293 son hombres y 52 469 son mujeres. 

 

Paso 2

Una vez leído este texto, comiencen a responder las preguntas. 

 

I. Preguntas 

1) ¿Por qué crees que la comuna de La Reina se desarrolló en terrenos con

pendientes hacia la zona alta de la ciudad de Santiago?

Respuestas posibles: Porque en otros lugares de Santiago ya no

había terrenos aptos y autorizados para construir; porque las

nuevas familias que se formaban en la comuna no querían salir

de ella …, etc.

 

2) Imagina que eres un turista y quieres conocer algo de este barrio.

Comienzas tu recorrido en la esquina de Echeñique con Avenida Ossa y

luego darás una vuelta a la manzana por las calles Echeñique; Rosita

Renard; San Vicente de Paul, volviendo a Avenida Ossa hasta el punto

de partida. Observa el mapa que aparece más abajo. Fíjate en que

corresponde a una manzana cuadrada que tiene un área de 39 204 m2.

 

Según esta figura:

 

a) ¿Cómo calculas la longitud de cada cuadra de ese cuadrilátero?

    Calculando la raíz cuadrada del área de esa superficie. Es

    decir, la raíz cuadrada de 39 204.

 

b) ¿Cuánto debes caminar en cada cuadra?

    198 metros.

 

c) ¿Cuánto debes caminar para dar una vuelta a la manzana?

    4 • 198 m = 792 m

 

             mapaSantiago 

 

3) Si ahora quieres recorrer las avenidas Echeñique, Ossa y Tobalaba,

    ¿qué forma tiene ese sector?  

    Es un triángulo rectángulo.

 

4) Una acera de la avenida Tobalaba limita con un hermoso y frondoso

     parque que sirve de ribera del canal San Carlos cuyas aguas fluyen por

     ese costado de la avenida. ¿Qué procedimiento matemático utilizas para

     calcular la distancia que existe por la avenida Tobalaba desde la estación

     de metro Príncipe de Gales hasta la esquina de Echeñique con Tobalaba?

     El teorema de Pitágoras.

 

5) ¿Qué distancia existe entre las estaciones de metro Príncipe de Gales y

     Simón Bolívar?

     810 metros.

 

6) ¿Cuánto mide cada cateto de la figura del mapa?

    810 m y 486 m.

 

7) ¿Cuánto mide el cuadrado de cada cateto de la figura del mapa?

     656 100 m2 y  236 196 m2.

 

8) ¿Cuál es la suma de los cuadrados de cada cateto de la figura del mapa?

     892 296 m2.

 

9) ¿Cuánto debes caminar por la avenida Tobalaba desde la estación

     de metro Príncipe de Gales hasta la esquina de Echeñique con Tobalaba?

     Redondea el resultado a la unidad más cercana.

     945 metros.

 

10)  En un párrafo anterior se indica que la comuna de La Reina tiene

        un territorio de 23,4 km2 de superficie. Si imaginamos que todo el

 

        territorio de la comuna se reparte en un cuadrado de 23,4 km2 de

 

        superficie, ¿cuánto mediría cada lado de ese cuadrado? Redondea

        a la unidad más próxima.

        5 kilómetros.

 

                   mapaSantiago 

 

Paso 3

Una vez terminada esta primera parte, revísenla y suscite una discusión con

los estudiantes en la que ellos expongan sus respuestas. 

Luego pueden continuar con la segunda parte de la actividad destinada a la

ejercitación del tema de raíces, con ejercicios de selección múltiple. 

 

II. Ejercicios de selección múltiple

 

1) La mitad del 100% de V16 es:

    A) 400

    B)   16

    C)    8

    D)    4

    E)    2

 

2) ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) igual(es) a  –2 ?

 

     I II III 

 

     A) Sólo III

     B) Sólo II

     C) Sólo I

     D) Todas

     E) Ninguna

 

3) ¿Cuál es el número que corresponde a la suma de los 5

     pares siguientes de V144 ?

 

     A) 114

     B)  92

     C)  90

     D)  88

     E)   86

 

4) Si al doble del cuadrado de un número positivo le quito 20, resulta igual

    que si al cuadrado del número le agrego 16. ¿Cuál es el número?

    A) 6

    B)  36

    C) 6V2

    D) 6V3

    E)  3

 

5) P form

     A) 1 32

 

     B) 1 8

 

     C) 2

     D) 8

     E) 32

 

6)  Se define 1 32

     A) 0

     B) 1

     C) 13

     D) 19

     E) Ninguna de las anteriores

 

7) 1 32 . Si   x  =  2; 

    ¿cuál de las relaciones siguientes es correcta?

    A) S > T > U

    B) S > U > T

    C) T > U > S

    D) U > S > T

    E) S = T = U

 

8) 1 32

     A) 101

     B) 102

     C) 23

     D) 22

     E) 43

 

9) Si al cuadrado de 1 32 se suma V y 2

     se obtiene:

     A) x2 + y

     B) x + y2

 

     C) 1 32+ y

 

     D) x + V y

     E) Ninguna de las anteriores  

 

10) Si   x    V2 y    y = V3,   entonces   x2  +  y2  =  ?

 

      A) V5

 

      B) V10

 

      C) V13

 

      D) 5

      E) 13

 

11) El  100 %  de la raíz cuadrada de  a2  es:

     

      A) a2

      B) a

      C) 100a2

      D) 100a

      E) Va

 

12)  p : q2  =  1 : 4 ;  entonces  Pq2  =  ?

      

       A) 2q

 

       B) 2q

 

       C) 2q

 

       D) 4q

       E) 2q 

 

13) ¿Qué valor debe tener  m  para que Vm2?

      A)   4

      B)   8

      C) 16

      D) 32

      E) 64

 

14) Si   c  =  2    y    d  = 1 4,  entonces  Vm2=  ?

 

      A) 3 2

 

      B) 3 4

 

      C) 3 5

 

      D) 22

  

      E) 2 12

 

15) Sea Vc ,  entonces ¿cuál(es) de las

      relaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

      C d

      A) Sólo I

      B) I  y  II

      C) I  y  III

      D) II  y  III

      E) Todas

 

16) ¿Cuál debe ser el valor de  a  para que  V4a ?

 

       A) ½

       B) 4

       C) 2

       D) 1

       E) 0

 

Paso 4

Concluya la actividad volviendo a la pregunta número 1 de la primera parte de la guía para el estudiante. 

 

¿Cuánto debo caminar?

 

Es decir:

1) Imagina que eres un turista y quieres conocer algo de este barrio.

Comienzas tu recorrido en la esquina de Echeñique con Avenida Ossa y

luego darás una vuelta a la manzana por las calles Echeñique; Rosita

Renard; San Vicente de Paul, volviendo a Avenida Ossa hasta el punto

de partida. 

Observa la figura más abajo. Fíjate que corresponde a una manzana

cuadrada que tiene un área de 39 204 m2. 

 

Según esta figura:

a) ¿Cómo calculas la longitud de cada cuadra de ese cuadrilátero?

b) ¿Cuánto debes caminar en cada cuadra?

 

Construyan un resumen de los conceptos más importantes y de las

aplicaciones de las raíces. Puede recordarles que:

 

C d

 

Analice los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos y refuerce los

aprendizajes que presentan más problemas.

Información

Técnica

Descripción BrevePara estudiar las raíces te invitamos a revisar el siguiente recurso educativo desarrollado por educarchile. ¡Verás que es muy sencillo!
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>>Recurso Interactivo: Potencias y raíces

>>Sitio: Raiz

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
2° medioMatemáticaÁlgebra

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