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Ficha temática

Regla de multiplicación de probabilidades

El siguiente recurso entre material con el que podrás aprender acerca de la Regla de multiplicación de probabilidades, materia de 2° medio.

Regla de multiplicación de probabilidades

1. Regla de multiplicación de probabilidades

Si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos.

Ejemplos:
1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?

La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:

Pe a es igual a uno partido por seiscientos veniticinco
 

2. Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?

Si H representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los siguientes casos favorables:    HHM – HMH – MHH 
La probabilidad de cada uno de estos eventos es: 

un octavo


Por lo tanto, la probabilidad pedida es                       

Para profundizar conceptos de esta unidad te recomendamos:
http://www.arrakis.es/~mcj/azar06.htm

 

foto color
 Daniela sentada junto a presidenta Bachelet REGLAS DE MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES Quizás hayas jugado el juego Monopoly® o Monopolio®. Este juego se puede encontrar en muchas jugueterías alrededor del mundo, impreso en varios idiomas. Muchas de las versiones extranjeras utilizan nombres de los lugares locales para las propiedades en lugar de los nombres de Atlantic City y New Jersey, que es el juego original. Por eso en Chile tenemos El Gran Santiago®. Ir a la actividad
Imagen de conjuntos numéricos

REGLAS DE MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES 


Descripción curricular:

- Nivel: 2.º Medio 

- Sector: Matemática

- Unidad temática: Estadística y probabilidad

- Palabras clave: frecuencia, probabilidad, experimento aleatorio, espacio

muestral, suceso simple, suceso compuesto suceso dependiente, suceso

independiente, propiedad multiplicativa de las probabilidades

 

- Contenidos curriculares: 

- Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de

  la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanza de

  figuras planas y nociones de probabilidad; iniciándose en el

  reconocimiento y la aplicación de modelos matemáticos.

- Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las

  probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las

  diferencias entre los fenómenos aleatorios y los deterministas. 

- Explorar sistemáticamente diversas estrategias para la

  resolución de problemas; profundizar y relacionar contenidos

  matemáticos. 

- Percibir la relación de la matemática con otros ámbitos del saber.

- Analizar invariantes relativas a cambios de ubicación y ampliación o

  reducción a escala, utilizando el dibujo geométrico.

 

- Contenidos relacionados:

- 1.º Medio: 

  Números racionales e irracionales. 

  Resolución de problemas, estimaciones de cálculos, redondeos.

  Uso de la calculadora.

  Proporcionalidad directa e inversa, constantes de proporcionalidad,

   su relación con un cuociente o un producto constante.

Lectura e interpretación de situaciones que involucren porcentaje.

  Resolución de problemas en los que el referente asociado a 100

   está implícito. 

  Relación entre decimales y fracciones.

 

- 2.º Medio:

Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los

  resultados; uso de tablas y gráficos. 

Comentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la

  probabilidad. 

La probabilidad como proporción entre el número de resultados

  favorables y el número total de resultados posibles, en el caso de

  experimentos con resultados equiprobables.  Sistematización de

  recuentos por medio de diagramas de árbol. 

Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de

  una moneda; relación con el triángulo de Pascal. Interpretaciones

  combinatorias.

Uso de algún programa computacional de manipulación

  algebraica y gráfica.

 

- 3.º Medio:

Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos.

Gráfico de  frecuencia de una variable aleatoria a partir de un

   experimento estadístico. 

Relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Ley de los

   grandes números. Uso de programas computacionales para la

   simulación de experimentos aleatorios. 

Resolución de problemas sencillos que involucren suma o

   producto de probabilidades. Probabilidad condicionada.

 

- 4.º Medio:

Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de

  diversos contextos.  Crítica del uso de ciertos descriptores

  utilizados en distintas informaciones. 

Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar

  un conjunto de datos. Ventajas y desventajas. Comentario

  histórico sobre los orígenes de la estadística. 

Uso de planilla de cálculo para análisis estadístico y para

  construcción de tablas y  gráficos.

Muestra al azar, considerando situaciones de la vida cotidiana;

  por ejemplo, ecología, salud pública, control de calidad, juegos de

  azar, etc. Inferencias a partir de distintos tipos de muestra.

 

- Aprendizajes esperados:

- Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los

  resultados; uso de tablas y gráficos. 

- Comentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la

  probabilidad. 

- La probabilidad como proporción entre el número de resultados

  favorables y el número total de resultados posibles, en el caso de

  experimentos con resultados equiprobables.  Sistematización de

  recuentos por medio de diagramas de árbol. 

- Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de

  una moneda; relación con el triángulo de Pascal. Interpretaciones

  combinatorias.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Leen una tabla de doble entrada que corresponde al espacio muestral de un

  experimento aleatorio.

- Reconocen el número de elementos de un espacio muestral.

- Completan una tabla de doble entrada que corresponde al espacio muestral de

  un experimento aleatorio.

- Analizan la tabla de doble entrada para obtener aquellos elementos del espacio

  muestral que cumplen con un requisito dado. 

- Leen la frecuencia de los elementos del espacio muestral que cumplen con una

  condición dada.

- Calculan con calculadora y sin ella la probabilidad de un suceso simple,

  expresando el resultado como fracción o como porcentaje, pudiendo aproximar

  o redondear.

- Analizan si un suceso compuesto es dependiente o independiente.

- Calculan la probabilidad de un suceso compuesto e independiente, usando la

  propiedad multiplicativa de las probabilidades.

- Desarrollan habilidades relativas al interés y la capacidad de conocer la

  realidad, utilizar el conocimiento y la información para tomar decisiones

  fundamentadas.

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades de

  organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento

  lógico, mediante contenidos y actividades de aprendizaje de procedimientos.

  También a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a

  partir de relaciones observadas, por otro. 

- Desarrollan habilidades relacionadas con el trabajo, actitudes de rigor,

  perseverancia y análisis de sus procedimientos, así como de flexibilidad,

  originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y aceptar

  consejos y críticas.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha temática: “Regla de multiplicación de las probabilidades”.

- Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM15 “Estadística y probabilidad”. 

 

Actividades propuestas para este tema:

Proponemos la actividad “Acertar: ¿dependencia o independencia de los sucesos?”,

referente a la lectura de frecuencias desde una tabla de doble entrada que corresponde

al espacio muestral de un experimento aleatorio, análisis de todas las frecuencias que

satisfacen una condición; reconocimiento de suceso simple y compuesto; cálculo de

probabilidad de sucesos simples y compuestos, particularmente de los sucesos

independientes usando la propiedad multiplicativa de las probabilidades.

 

ACTIVIDAD: “Acertar: ¿dependencia o independencia de los sucesos?”

 

2H 

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa1 

 

2. Desarrollo de la actividad: “Acertar: ¿dependencia o independencia

de los sucesos?”

 

Paso 1

Como actividad de motivación e introducción, haga el siguiente resumen a sus

alumnos. Recuerde a sus alumnos que la fórmula que se utiliza para calcular la

probabilidad de un suceso simple es:

      form1 

Explique a sus alumnos que los sucesos que arrojan más de un resultado se

llaman sucesos compuestos.

 

En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo

suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso

independiente.

Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso

dependiente. Enseguida, haga las siguientes preguntas a sus alumnos:

 

1) Estás en el punto de partida del juego de El gran Santiago®. Necesitas

lanzar dos dados para obtener dos “tres” consecutivos (uno en cada

lanzamiento y respetando los turnos del juego). Estos dos sucesos, ¿son

dependientes o independientes entre sí?

 

2) Si lanzamos simultáneamente un dado y una moneda, una sola vez, ¿los

resultados que obtengamos dependen uno del otro? ¿La moneda depende del

dado y viceversa?

 

Pida a sus estudiantes que respondan estas preguntas expresando lo que

piensan, fundamentando siempre su respuesta y dando ejemplos. Así, da

oportunidad para que los estudiantes se manifiesten según sus propios

conocimientos. Es recomendable ir escribiendo en la pizarra una síntesis de lo

que van diciendo.

Entrégueles bibliografía o direcciones en la red para que indaguen y corroboren

sus respuestas.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal www.educarchile.cl.

Es recomendable que esta guía sea resuelta en forma grupal de dos alumnos.

Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la

actividad. Las respuestas aparecen en azul. 

Entonces:

 

Quizás hayas jugado el juego Monopoly® o Monopolio®. Este juego se puede

encontrar en muchas jugueterías alrededor del mundo, impreso en varios

idiomas. Muchas de las versiones extranjeras utilizan nombres de los lugares

locales para las propiedades en lugar de los nombres de Atlantic City y New

Jersey, que es el juego original. Por eso es que en Chile tenemos El Gran

Santiago®.

 

Todo empezó en 1933 cuando un hombre cesante de nombre Charles B.

Darrow creó un pasatiempo en el cual los jugadores tenían la oportunidad de

comprar y vender inmuebles y se volvían ricos. Durante la Gran Depresión

muchos estadounidenses quedaron sin trabajo y Darrow pensó que su invento

era una fantasía que muchos jugadores podrían disfrutar. Darrow trató de

vender su idea a la empresa de juguetes Parker Brothers, pero no fue

aceptada. Los ejecutivos de la empresa pensaron que un juego basado en

compra-venta de propiedades no llamaría la atención. De igual modo,

pensaron que los jugadores se aburrirían jugando alrededor de un tablero sin

obtener ninguna meta real, y que el juego era demasiado largo. Los ejecutivos de

Parker Brothers pensaban que un juego debía tomar alrededor de 45 minutos para

poder mantener el interés de las personas. El juego Monopoly®  podía durar varias

horas. Después de probarlo, la empresa de  juguetes escribió a Darrow diciéndole

que no se interesaba en su juego. Darrow no se dio por vencido. Con la ayuda de un

amigo impresor, él mismo produjo varias miles de copias del juego. Vendió 5000 a

una tienda de Philadelphia. El juego fue un éxito entre el público. Parker Brothers

escuchó acerca del éxito de Darrow y cambió de opinión sobre el juego Monopoly®.

Dos años después de que había rechazado la propuesta de Darrow, la empresa compró

los derechos  de Monopoly®. La idea de Darrow finalmente lo hizo millonario y dio a

la Parker Brothers uno de los juegos de salón más populares del mundo.

 

monopoly

 

Pídales a los estudiantes que utilicen el tablero de El Gran Santiago® que se

muestra para responder las preguntas.

 

1) ¿Cuál crees que es el elemento más importante para ganar el juego El

Gran Santiago®?

Las respuestas pueden variar. Tener suficiente dinero para

comprar propiedades y edificar, tomar buenas decisiones para

comprar o no las propiedades, no caer en las propiedades de

otros jugadores, tener suerte, etc.

 

2) Esta tabla muestra todos los resultados posibles de obtener cuando se

lanza un par de dados.  

a) ¿Cuál es la suma mínima que se puede obtener?

     2

b) ¿Cuál es la suma máxima que se puede obtener?

     2

c) Completa la tabla escribiendo la suma total que es posible obtener

con el lanzamiento de un par de dados. Se han llenado algunas

casillas a modo de ejemplo.  que se

muestra para responder las preguntas.

 

1) ¿Cuál crees que es el elemento más importante para ganar el juego

El Gran Santiago®?

 

      tablero

 

3) La que tiene la más alta frecuencia:

a) ¿Cuál suma es?

    El 7

 

b) ¿Cuál es su frecuencia?

    6

 

c) ¿Tiene alguna distribución especial en la tabla?

    Sí, está en una diagonal de la tabla

    (la diagonal secundaria).

 

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener esta suma al lanzar dos dados

    simultáneamente? Escribe como fracción y porcentaje.

 

    6 36 =16,7 %

 

4)  Para obtener una suma igual a “tres”:

a) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa

    suma? 

    De 2 formas.

 

b) ¿Cuáles son esas formas sumar “tres”?

    1+2   o   2+1

 

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga

    la suma “tres”? Escribe como fracción y porcentaje.

 

    2 36= 5,6 %

 

Los sucesos que arrojan más de un resultado se llaman sucesos

compuestos.

En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo

suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso

independiente.

Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso

dependiente.

 

Si los sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que

ambos ocurran se calcula con la ecuación:   P(A y B) = P(A) • P(B).

Esta propiedad de los sucesos independientes se llama propiedad

multiplicativa.

 

tabla2 

 

Usando una representación geométrica de la multiplicación de fracciones, se

puede ver con este ejemplo que si la probabilidad del suceso A es 5 7y la probabilidad del suceso B es 2 3 , entonces la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es:

 

 form3

 

Es decir:

 

5) Estás en el punto de partida. Si necesitas lanzar los dos dados para

obtener dos “tres” consecutivos (uno en cada lanzamiento y respetando

los turnos de juego) con el propósito de llegar primero a la calle “Lira” y

enseguida a “Gran Avenida”. 

 

a) Estos dos sucesos, ¿son dependientes o independientes entre sí?

    Son sucesos independientes.

 

b) ¿Cuál es la probabilidad que tienes de conseguir ambos

    propósitos? Escribe como fracción y porcentaje.

 

            2 36 = 0,31 %

 

6) Estás en el “Cine”. Necesitas hacer el lanzamiento de los dos dados en

dos oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido tiempo y

respetando los turnos de juego). Ello, con el propósito de llegar primero

al “Hotel” y luego a la “Clínica”. Entonces:

 

a) ¿Debes conseguir una misma suma en cada lanzamiento?

    Sí.

 

b) ¿Cuál es esa suma?

    5 en cada caso.

 

c) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar

    esa suma?

    De 4 formas.

 

d) ¿Cuáles son esas formas de sumar?

    1+4;  2+3;  3+2;  4+1

 

e) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga

    la suma que se necesita? Escribe como fracción y porcentaje.

 

      4 36 = 1,2 %

 

7) Estás en la “Compañía de Teléfonos”. Necesitas hacer el lanzamiento de

     los dos dados en tres oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a

     su debido tiempo y respetando los turnos de juego). Ello, con el

     propósito de llegar a un punto de destino que es la calle “Diez de Julio”.

     Entonces:

 

a) ¿Cuántas casillas en total debes avanzar para llegar a “Diez de Julio”?

    12 casillas.

 

b) ¿Es posible hacer dos paradas en el camino?

    Sí.

 

c) Considerando que vas a llegar a destino haciendo tres

    lanzamientos de dados, ¿esas paradas podrán estar separadas

    una de otra por una misma cantidad de casillas?

    Sí.

 

d) ¿Cuál es esa cantidad idéntica de casillas que separan una parada

    de otra?

    4 casillas.

 

e) ¿A qué calles corresponden?

    Irarrázaval y Avda. Matta.

 

f) Entonces, ¿qué suma debes obtener en cada uno de los tres

   lanzamientos que harás de los dados?

   4.

 

g) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa

    suma?

    De 3 formas.

 

h) ¿Cuáles son esas formas de sumar?

    1+3;  2+2;  3+1.

 

i) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados en tres

   oportunidades obtengas la suma que necesitas? Escribe como

   fracción y porcentaje. 

 

   3 36 = 0,08 %

 

j) ¿Tienes posibilidades?

   Poquísimas.

 

8) Estás en la “Compañía de Gas”. La próxima vez que te corresponda tirar

     los dos dados:

 

a) ¿Puedes llegar a la “Compañía de Teléfonos”?

     No.

 

b) ¿Por qué?

    Porque no se puede obtener una suma igual a 1 lanzando

    simultáneamente dos dados.

 

c) ¿Cuál es la probabilidad? Escribe como fracción y porcentaje.

 

    0 36 = 0%

 

9) Estás en la “Clínica”. La próxima vez que te corresponda tirar los dos

dados en dos oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido

tiempo y respetando los turnos de juego) quieres llegar primero a

“Providencia” y luego a “Ahumada”. Entonces:

 

a) ¿Debes conseguir una misma suma en cada lanzamiento?

    No.

 

b) Si la respuesta es no, ¿cuál es cada suma en cada oportunidad?

    6  y  2.

 

c) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar la

    primera suma?

    De 5 formas.

 

d) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar la

    segunda suma?

    De 1 forma.

 

e) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga

    la primera suma? Escribe como fracción y porcentaje.

 

     5 36 = 13,9 %

 

f) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga

    la segunda suma? Escribe como fracción y porcentaje.

 

     1 36 = 2,8 %

 

g) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga

    la primera y la segunda suma? Escribe como fracción y porcentaje.

 

     5 36 x = 0,4 %

 

h) ¿Tienes posibilidades?

    Poquísimas.

 

10)  El lanzamiento simultáneo de un dado y una moneda, una sola vez:

 

dado 

 

a) ¿Es un suceso dependiente o independiente?

    Independiente.

 

b) ¿Por qué?

    Porque la existencia de un suceso (lanzar un dado) no afecta la

    probabilidad del otro suceso (lanzar una moneda).

 

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener “sello” en la moneda? Escribe

    como fracción y porcentaje.

 

    12 = 50 %

 

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener “cinco” en el dado? Escribe

    como fracción y porcentaje.

 

    16 = 16,7 %

 

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener “sello”  y “cinco”? Escribe

    como fracción y porcentaje.

 

    form5 = 8,3 %

 

f) ¿Cómo calificarías este suceso compuesto en relación con la

   probabilidad? ¿Poco probable? ¿Imposible? ¿Igualmente probable?

 

   Poco probable.

 

11)  Se aplicará una prueba en una determinada asignatura. La prueba tiene

        dos ítems: “Verdadero y Falso”  y “Selección múltiple”. Considera que

        acertar en las respuestas son sucesos independientes.

        En el ítem de “V o F” existen 8 preguntas. Entonces:

 

a) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en una respuesta de “V o F”?

    Escribe como fracción y porcentaje.

 

     12  = 50 %

 

b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de “V

    o F”? Escribe como fracción y porcentaje.

 

    form6 = 0,39 %

 

En el ítem de “Selección múltiple” existen cinco preguntas con cuatro

alternativas cada una (A, B, C, D). Entonces:

 

c) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en una respuesta de “Selección

    múltiple”? Escribe como fracción y porcentaje.

 

    14 = 25 %

 

d) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de

    “Selección múltiple”? Escribe como fracción y porcentaje.

 

     form7 = 0,09 %

 

e) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de “V

    o F” y de “Selección múltiple”? Escribe como fracción y

    porcentaje.

 

    form8 = 0,00038 %

 

 

Nota: afortunadamente las pruebas de conocimiento no dependen del

azar o la buena suerte. El éxito en una prueba de conocimiento

depende de tus conocimientos.

 

Paso 3

Concluya la actividad con este resumen. Si volvemos a la pregunta inicial:

 

Acertar: ¿dependencia o independencia de los sucesos?

 

Los sucesos que arrojan más de un resultado se llaman sucesos

compuestos.

En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo

suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso

independiente.

Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso

dependiente.

 

Si los sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que

ambos ocurran se calcula con la ecuación:   P(A y B) = P(A) • P(B).

Esta propiedad de los sucesos independientes se llama propiedad

multiplicativa.

Entonces, si se tienen varios sucesos consecutivos e independientes entre sí, la probabilidad de acertar a todos ellos a la vez corresponde al producto de las probabilidades que por separado tenga cada suceso.

Es lo que ocurre con las preguntas iniciales que se formularon.

 

1) Estás en el punto de partida del juego de El gran Santiago®. Necesitas

lanzar dos dados para obtener dos “tres” consecutivos (uno en cada

lanzamiento y respetando los turnos del juego). Estos dos sucesos, ¿son

dependientes o independientes entre sí?

 

2) Si lanzamos simultáneamente un dado y una moneda, una sola vez, ¿los

resultados que obtengamos dependen uno del otro? ¿La moneda depende del

dado y viceversa?

 

Ambos sucesos son compuestos e independientes. Por lo tanto, se aplica la

propiedad multiplicativa de las probabilidades de cada suceso simple.

 

         form8

 

Analice los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos y refuerce los

aprendizajes que presentan más problemas.

 

Información

Técnica

Descripción BreveEl siguiente recurso entre material con el que podrás aprender acerca de la Regla de multiplicación de probabilidades, materia de 2° medio.
Temas relacionados

>>Presentación: Aritmos

>>Presentación: Cálculo de probabilidad

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
2° medioMatemáticaDatos y azar

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