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Regla de Laplace

Te invitamos a aprender la Regla de Laplace con el siguiente recurso desarrollado por educarchile.

Regla de Laplace

1. Regla de laplace

En ciertos casos es posible que se pueda predecir el resultado de un suceso (si va a ocurrir o no). Si se puede predecir, diremos que es un fenómeno determinístico. En caso contrario, se trataría de un evento aleatorio. Por ejemplo, lanzar una moneda al aire constituye un fenómeno de tipo aleatorio, pues en este caso no se puede asegurar si saldrá cara o sello.
La estadística es una rama de las matemáticas que estudia la probabilidad de resultados posibles de un determinado evento o suceso.
Se define espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, y lo designaremos con la letra E. En el caso de la moneda, los resultados posibles son 2: cara o sello, por lo tanto, el espacio muestral de este suceso es E = {cara, sello}.

Al arrojar un dado, existen 6 caras posibles, cada una de las cuales es un resultado. El espacio muestral para este caso es E = {1,2,3,4,5,6}

Si se tiran dos dados distintos, su espacio muestral puede ilustrarse mediante el siguiente diagrama de pares ordenados:

Diagrama que muestra los posibles resultados al tirar dos dados

En este caso, el espacio muestral está formado por 36 elementos.

Se llama evento a todo subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, si se tiran dos dados, un evento puede ser que la suma de las puntuaciones sea igual a seis. En este caso, solo serán los pares (1,5) (5,1) (2,4) (4,2) y (3,3).
La probabilidad de un evento es un valor que nos permite determinar qué tan posible es que un evento ocurra o no.
La definición clásica de probabilidad, dada por la regla de Laplace, se aplica si todos los resultados posibles de un experimento aleatorio tienen la misma probabilidad o son equiprobables.
En el diagrama anterior, donde se ilustra el espacio muestral para el experimento aleatorio de lanzar dos dados, cada uno de los resultados tiene la misma probabilidad si consideramos que los dados “no están cargados”.

La probabilidad de que un evento A ocurra se anota P(A) y se calcula mediante el cociente:

Cuociente pe a

Esto es válido, eso sí, cuando en el experimento aleatorio todos sus resultados son equiprobables. Los valores de una probabilidad están entre 0 y 1. 

Para profundizar conceptos de esta unidad te recomendamos:   http://www.arrakis.es/~mcj/azar06.htm

foto color REGLAS DE LAPLACEEducarchile Cada vez que en un juego de azar se acumula el pozo de dinero para repartir, miles de personas se dedican a escoger sus números de la suerte y jugar, para poder alcanzar el anhelado sueño de ser millonario. ¿Cómo podemos predecir, saber o intuir cuál es la probabilidad de ganar? Pues es bastante sencillo: Pierre Simon Laplace logró deducir que para poder determinar la probabilidad de ganar, los jugadores deben saber los casos favorables y los casos totales de cada suceso.Ir a la actividad
Imagen a color de figuras geométricas Guía del docente: REGLAS DE LAPLACE
Educarchile

Descripción curricular:

- Nivel: 2.° Medio 

- Subsector: Matemática

- Unidad temática: Estadística y probabilidad

- Palabras claves: sucesos equiprobables, regla de Laplace, probabilidad de un

suceso.

- Contenidos curriculares: 

Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de

la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanza de

figuras planas y nociones de probabilidad; iniciarse en el

reconocimiento y la aplicación de modelos matemáticos.

Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las

probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las

diferencias entre los fenómenos aleatorios y los deterministas. 

Explorar sistemáticamente diversas estrategias para la

resolución de problemas; profundizar y relacionar contenidos

matemáticos. 

Percibir la relación de la matemática con otros ámbitos del saber.

Analizar invariantes relativas a cambios de ubicación y ampliación o

reducción a escala, utilizando el dibujo geométrico.

 

- Contenidos relacionados:

 1.º Medio:  

Gráficos de distinto tipo; interpretación y lectura.

 2.º Medio:

La probabilidad como proporción entre el número de

resultados favorables y el número total de resultados

posibles, en el caso de experimentos con resultados

equiprobables. Sistematización de recuentos por medio de

diagramas de árbol.

 3.º Medio: 

Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos

concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a

partir de un experimento estadístico.

 4.º Medio: 

Muestra al azar, considerando situaciones de la vida

cotidiana; por ejemplo, ecología, salud pública, control de

calidad, juegos de azar, etc. Inferencias a partir de distintos

tipos de muestra.

 

- Aprendizajes esperados:

Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los

resultados; uso de tablas y gráficos.

Comentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la

probabilidad. 

La probabilidad como proporción entre el número de resultados

favorables y el número total de resultados posibles, en el caso de

experimentos con resultados equiprobables. Sistematización de

recuentos por medio de diagramas de árbol.

Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de una

moneda;  relación con el triángulo de Pascal. Interpretaciones

combinatorias.

Analizan e interpretan los resultados de problemas que

involucran cálculo de probabilidades, considerando experimentos

aleatorios simples; explican los procedimientos utilizados;

analizan la independencia de los mismos; reconocen los casos de

equiprobabilidad.

Conocen y utilizan la fórmula de Laplace para el cálculo de

probabilidades; comparan probabilidades y analizan su valor

máximo y su valor mínimo.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

Reconocen la regla de Laplace.

Comprenden el concepto de equiprobabilidad.

Reconocen que las probabilidades varían entre cero y uno.

Determinan el espacio muestral de un suceso.

Calculan la probabilidad de que un suceso ocurra, usando la regla de Laplace.

Calculan la probabilidad de que un suceso no ocurra, usando la regla de Laplace.

Calculan la probabilidad de ocurrencia de sucesos referentes a  dados, fichas y monedas.

Calculan la probabilidad de ocurrencia de sucesos referentes a 

  categorías de números dentro de un conjunto numérico (pares, impares,

  cuadrados, mayor o menor que…).

Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las

  actividades de organización de datos, y las de resolución de problemas y

  de pensamiento lógico, mediante contenidos y actividades orientadas al

  aprendizaje de algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de

  leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones

  observadas, por otro.

Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la

  realidad y utilizar el conocimiento y la información.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

Ficha 13: “Regla de Laplace”

Diapositivas digitales Matemáticas NM2 “Estadísticas y probabilidades”

 

Actividades propuestas para este tema:

Proponemos la actividad “¡A ganar, a ganar!”, sobre el cálculo de probabilidades

aplicando la regla de Laplace.

 

ACTIVIDAD: ¡A ganar, a ganar!

 

2H 

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa1

 

2. Desarrollo de la actividad:

 

Paso1

Como introducción al tema, mencione a los alumnos que a una buena parte de la población chilena le gustan los juegos de azar: sorteos, concursos, “raspes” y máquinas tragamonedas, entre otros.

Pida a sus estudiantes que respondan la pregunta inicial:

 

¿Cómo podemos predecir, saber o intuir cuál es la probabilidad de ganar?

 

Pida a sus alumnos que expresen lo que piensan, fundamentando siempre su

respuesta y dando ejemplos. Así, da oportunidad para que los estudiantes se

manifiesten según sus propios conocimientos. Es recomendable ir escribiendo

en la pizarra una síntesis de lo que ellos van diciendo.

Entrégueles bibliografía o direcciones en la red para que indaguen y corroboren

sus respuestas.

Haga hincapié en que las probabilidades no indican la forma de ganar o la

combinación perfecta para lograrlo, sino que determinan un número que se

interpreta según el contexto que lo amerite. Recuerde a sus alumnos que

siempre las probabilidades están entre cero y uno.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal educarchile.cl.

 

Concluida la lectura, pida a sus alumnos que resuelvan la actividad.

Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la

actividad. Las respuestas aparecen en azul. 

 

Entonces:

Cada vez que en un juego de azar se acumula el pozo de dinero para repartir,

miles de personas se dedican a  escoger sus números de la suerte y jugar,

para poder alcanzar el anhelado sueño de ser millonario.

¿Cómo podemos predecir, saber o intuir cuál es la probabilidad de ganar?

Se puede calcular la probabilidad del suceso; el predecir o intuir ya es

un factor de suerte.

 

El gran ejemplo que existe en Chile son los juegos de azar como el Loto o el

Kino. Inicialmente el Loto se jugaba con 36 números en total, de los cuales

había que acertar a 6. Con el tiempo esto cambio a 39 números en total y se

mantuvo la misma cantidad de aciertos.

¿Aumenta esto nuestras posibilidades de ser millonario?

No, ya que el total de los casos es mayor

 

¿Quedamos igual que al principio?

No, ya que se aumentó el total de números

 

¿Definitivamente disminuye esto nuestras posibilidades?

Sí, puesto que mientras más grande es nuestro total y menos son

nuestros casos favorables, la probabilidad se acerca a cero.

 

Verifiquemos

 

loto

 

Inicialmente

Casos favorables: 6

Casos totales: 36

 

Probabilidad de acertar: 36

 

Últimamente

Casos favorables: 6

Casos totales: 39

 

Probabilidad de acertar: 639

 

Qué sucedió?, ¿cómo puedo interpretar este resultado?

Sucede que como el número de casos totales aumentó, nuestras

posibilidades disminuyen. Los números que arrojan estas divisiones

sustentan este razonamiento. Mientras más numerosos sean nuestros

casos totales y menos nuestros casos favorables, la tendencia se

acerca a cero.

 

Investiga acerca de Pierre Simon Laplace y sus conclusiones respecto de las

probabilidades. Una vez hecho esto realiza la siguiente actividad:

 

Ejercicios de desarrollo

1. En una urna hay 3 bolas blancas, 2 rojas y 4 azules. Calcula la

probabilidad de que al extraer una bola al azar, salga roja

Casos favorables: 2 (roja)

Casos totales: 9 (3+2+4)

 

Pr 

 

2. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento "suma de los puntos

obtenidos al lanzar dos dados"?

Se puede realizar el siguiente esquema y luego verificar la suma

de los dados:

tabla

 

Sea E espacio muestral, entonces

 

E={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

 

 

3. Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una

bola al azar. Determina la probabilidad de que:

 

a) Sea roja:   pr820

 

b) Sea amarilla:  Pa

 

c) Sea verde:  Pv 

 

 

4. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10

morenos. Un día sólo asisten 44. Calcula la probabilidad de que la

persona que falte sea:

 

a) Hombre: Ph

  

b) Mujer: Pm

 

c) Hombre rubio:  Phr

 

d) Mujer morena:  Pmm

 

e) Persona pelirroja: Ppp

 

 

Ejercicios de selección múltiple

 

1) En una bolsa hay 3 fichas blancas y 2 fichas negras, se saca al azar una

ficha, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca?

A) 1/2

B) 1/3

C) 1/5

D) 2/5

E) 3/5

 

2) Una caja contiene 6 fichas rojas, 8 negras y 10 verdes. La probabilidad de

sacar una ficha negra es:

A) 1/2

B) 1/3

C) 1/8

D) 1/16

E) 1/24

 

3) Se lanzan tres monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener

tres sellos?

A) 1/8

B) 1/4

C) 3/8

D) 1/2

E) 3/4

 

4) Se lanza un dado no cargado. La probabilidad de obtener un número mayor

que 4 es: 

 

A) 1/3

B) 1/2

C) 2/3

D) 3/4

E) 5/6

 

5) Se lanza un dado no cargado. La probabilidad de que el número obtenido

sea menor que 6 es:

A) 1

B) 5/6

C) 2/3

D) 1/2

E) 1/6

 

 

6) Se lanzan dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma

igual a tres?

A) 1/36

B) 1/18

C) 1/9

D) 5/36

E) 1/6

 

7) En una urna hay tres bolas negras y dos blancas. ¿Cuál es la probabilidad

de sacar una blanca?

A) 2/3

B) 3/5

C) 1/2

D) 2/5

E) 1/5

 

8) Se elige al azar un número del 1 al 15. ¿Cuál es la probabilidad de que este

número sea múltiplo de 2?

A) 1/15

B) 2/15

C) 7/15

D) 8/15

E) 1/2

 

9) Dado el conjunto D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Si se elige un número al

azar, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un cuadrado perfecto?

A) 1/3

B) 1/4

C) 1/2

D) 2/3

E) 3/4

 

10)  Se lanzan dos dados simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que

el resultado sume un número menor que 5?

A) 1/12

B) 1/9

C) 1/6

D) 10/36

E) N. A.

 

Paso 3.

Concluya la actividad volviendo a la pregunta inicial:

 

¿Cómo podemos predecir, saber o intuir cuál es la probabilidad de ganar?

 

Después de haber leído e investigado, queda claro que podemos saber con

anticipación cuáles son nuestras posibilidades.

 

Tales posibilidades están regidas por una “probabilidad” definida por una

“regla”. Es decir, existe un procedimiento matemático válidamente definido,

probado y aceptado que nos permite calcular la probabilidad de que un suceso

exitoso ocurra. En un suceso ello depende del número de casos favorables de

ocurrir y del número total de casos posibles de ocurrir. Se relacionan estos

números de casos mediante una comparación por cuociente.

Por lo mismo, mientras mayor sea el número de casos favorables mayor es la

probabilidad de que el suceso sea exitoso. Y viceversa.

Es decir, podemos predecir y saber con certeza cuál es la probabilidad que

tenemos de acertar.

Pero la seguridad de ganar… solamente la podemos intuir. Ello es parte del

azar. Y como en todo orden de cosas, tenemos que saber perder y… saber

ganar.

 

Para concluir, puede generar instancias de preguntas o debates en torno al

cálculo y representación de las probabilidades y del uso de la regla de Laplace. 

Analicen los resultados obtenidos de la actividad y refuerce los aprendizajes

que presentan más problemas.

 

Información

Técnica

Descripción BreveTe invitamos a aprender la Regla de Laplace con el siguiente recurso desarrollado por educarchile.
Temas relacionados

>>Presentación: Aritmos

>>Presentación: Cálculo de probabilidad

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
1° medioMatemáticaDatos y azar

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