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Ficha temática

Sistemas de ecuaciones

En 2° medio, en la asignatura de matemáticas, te encontrarás con los sistemas de ecuaciones. A continuación podrás conocer y aprender esta materia.

Sistemas de ecuaciones

1. Sistemas de ecuaciones lineales 

En distintos problemas de matemáticas nos vemos enfrentados a  cálculos con ecuaciones que tienen dos incógnitas que dependen una de la otra. Para poder resolverlas,  debemos considerar 2 ecuaciones que relacionen estas incógnitas. (Siempre se necesitará el mismo número de ecuaciones que de incógnitas por resolver).
Dos ecuaciones que relacionen dos incógnitas conformaan un sistema de ecuaciones. Existen distintos métodos de resolución para calcularlas, ya sean gráficos, algebraicos o mecánicos.

1.1 Interpretación gráfica

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

sistema de ecuación uno

Donde a, b, c, d, e, f suponen valores positivos, mientras que los valores de x e y son las incógnitas. Cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Determinar el valor de las incógnitas y, por tanto, la solución del sistema es hallar un punto común que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, encontrar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente:

Representación gráfica

 

Representación gráfica

En el ejemplo anterior, la gráfica de las ecuaciones y = –1/4 x + 4, y = ¾ x tiene como solución:
x = 4, y = 3

Existen otros métodos, llamados algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones. Estos son: reducción, igualación, sustitución.
 
1.2 Métodos algebraicos 

1. Método de reducción
Consiste en igualar los coeficientes pero con diferente signo de una de las incógnitas en ambas ecuaciones. El objetivo es que al reducirlas miembro a miembro, se elimine esa incógnita, quedando una sola ecuación con una incógnita, la cual es posible resolver.

Ejemplo:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

sistema de ecuación dos

Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos:

sistema de ecuación dos desarrollo

Reduciendo ambas ecuaciones se eliminará una de las variables, y se obtiene:

7x = 21, por lo tanto x = 3

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales podemos obtener el valor de la segunda incógnita. Por ejemplo en la segunda:

4• 3 + 2y = 16 

Despejando y obtenemos que y = 2

Por lo tanto, la solución del sistema es el punto (3,2).

2. Método de igualación
Consiste en despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones, obteniendo dos expresiones diferentes, las cuales se igualan, resultando una ecuación con una incógnita que se puede resolver.
Para calcular la segunda incógnita se puede reemplazar el valor la primera en cualquiera de las ecuaciones iniciales.

Ejemplo:
Resuelve el siguiente  problema: Si se compran 2  lápices y 5 carpetas, se deberá pagar $ 4.290,  y si se compran 3 lápices y 2 carpetas, se paga $ 2.310. ¿Cúanto vale cada lápiz y cada carpeta?
Para resolver este problema se debe plantear un sistema de ecuaciones:

Ecuaciones

Donde l, es el valor de cada lápiz y c, el valor de cada carpeta.
Resolviendo por igualación despejaremos la incógnita en ambas ecuaciones. Así,

Sistema de ecuaciones

Igualando las expresiones tenemos: Expresión matemática

igualando productos cruzados: Igualando productos cruzados
12.870 – 15c = 4.620 – 4c
12.870 – 4.620 = 15c – 4c
8.250 = 11 c, entonces c = 8.250 : 11 entonces c = 750 entonces cada carpeta cuesta $750
Reemplazamos en  Ecuación    
l = (2.310 – 2• 750) : 3
    
Entonces: l = 270 entonces cada lápiz cuesta $ 270

3. Método de sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las  ecuaciones, luego se sustituye la expresión en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. Se calcula ésta y luego se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda incógnita.

Ejemplo:
Resuelve el siguiente  problema:    
A un cine asiste un grupo de 5 niños y 2 adultos. Pagan $ 10.000 en total. Otro grupo, compuesto de un adulto y 3 niños paga $5.600.¿Cuánto vale la entrada de un adulto? ¿Y la de  un niño?

Formamos un sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones

Donde n es el valor de la entrada de un niño y a es el valor de la entrada de cada adulto.

De la segunda ecuación despejaremos a entonces a = (5.600 – 3n)
Reemplazamos en la otra ecuación: 5n + 2 (5.600 – 3n) = 10.000 resolviendo esta ecuación
obtenemos que n = $1.200    
Reemplazando este valor en a =  (5.600 – 3n)            
obtenemos que  a = 2.000             

Para ejercitar con problemas cotidianos que se resuelven utilizando sistemas de ecuaciones (59 ejercicios propuestos) consulta el sitio:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuProblemas.html 

2. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones

En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación corresponde a una recta, y la solución del problema es el punto de intersección.

sistema de ecuación tres

Podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones:

2.1. Infinitas soluciones
Si las ecuaciones representan la misma recta, habrá infinitos puntos comunes, lo que se produce cuando los coeficie

foto color de ecuaciones llevadas al gráfico SISTEMA DE ECUACIOCIONESEducarchile Una rampa es una forma de plano inclinado. Quienes practican patineta utilizan esta especie de máquina simple para ayudar a elevar su peso desde el suelo. Cuanto más gradual sea la pendiente de la rampa, más fácil será levantar un cuerpo a cierta altura. En este caso, el patinador. El patinador tiene que ajustar la pendiente de la rampa de manera que ésta no sea demasiado empinada ni demasiado gradual. En el primer caso, el patinador tendrá la dificultad de llegar hasta la cima; en el segundo, no obtendrá la altura suficiente para ejecutar un movimiento deslumbrante. En el inicio de esta práctica (década de los setenta), los patinadores utilizaban las paredes inclinadas de piscinas vacías como rampas de lanzamiento. En cambio, hoy día, los patinadores construyen sus propias rampas para aumentar sus destrezas. Revistas, libros e Internet son buenos recursos para los patinadores que quieren construir sus propias rampas para patineta. Usando algún buscador en Internet bajo el título de skateboarding como tema, puedes llegar a algunos sitios que entregan planos de rampas, listas de materiales, instrucciones y consejos útiles para desarrollar esta actividad.Ir a la actividad
Imagen a color d ecuaciones llevadas al gráfico Guía del docente: SISTEMAS DE ECUACIONES

Educarchile

Descripción curricular:

- Nivel: 2.º medio 

- Sector: Matemática

- Unidad temática: Álgebra y funciones

- Palabras clave: variación vertical, variación horizontal, pendiente, eje X, eje Y,

gráfico cartesiano, tabla de valores, ecuación lineal, sistema de ecuaciones

lineales, métodos de solución de sistemas de ecuaciones, variables dependiente e

independiente

- Contenidos curriculares: 

- Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de

la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanza

de figuras planas y nociones de probabilidad; iniciándose en el

reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos.

- Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las probabilidades en

juegos de azar sencillos, estableciendo las diferencias entre los

fenómenos aleatorios y los deterministas. 

- Explorar sistemáticamente diversas estrategias para la

resolución de problemas; profundizar y relacionar contenidos

matemáticos. 

- Percibir la relación de la matemática con otros ámbitos del saber.

 

- Contenidos relacionados:

- 1.º Medio: 

  Gráficos de distinto tipo; interpretación y lectura. 

  Resolución de problemas. Gráficos, tablas de valores y expresión

   algebraica.

  Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de

   primer grado con una incógnita.

  Operatoria algebraica. Generalización de la operatoria aritmética

   a través del uso de símbolos. Convención de uso de los

   paréntesis. Reducción de términos semejantes.  Sintaxis del

   lenguaje algebraico.

 

- 2.º Medio:

  Representación, análisis y resolución de problemas

   contextualizados en situaciones como la asignación de precios por

   tramo de consumo, por ejemplo de agua, luz, gas. Variables

   dependientes e independientes.

  Función afín y función lineal. 

  Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del

   intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo

   y de perpendicularidad. 

  Función valor absoluto; gráfico de esta función. Interpretación del

   valor absoluto como expresión de distancia en la recta real. 

  Función parte entera. 

  Uso de algún programa computacional de manipulación

   algebraica y gráfica.

 

- 3.º Medio:

  Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. 

  Intervalos en los números reales. 

  Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una

   incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. 

  Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales.

 

- 4.º Medio:

  Función potencia: y = a xn, a > 0, para n = 2, 3, y 4, su gráfico.

  Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento

   para distintos valores de a. 

  Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos 

   correspondientes. Modelación de fenómenos naturales o sociales

   a través de esas funciones. Análisis de las expresiones

   algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial.

  Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras. 

  Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Crecimiento

   aritmético y geométrico. Plantear y resolver problemas sencillos

   que involucren el cálculo de interés compuesto. 

  Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y

   gráfica.

 

- Aprendizajes esperados:

- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas. Gráfico de las rectas correspondientes. 

- Planteo y resolución de problemas y desafíos que involucren

sistemas de ecuaciones. Análisis y pertinencia de las soluciones. 

- Relación entre las expresiones gráficas y algebraicas de los

sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones. 

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Señalan las variaciones horizontal y vertical que posee una recta.

- Calculan la pendiente de una recta, usando la definición.

- Grafican en un sistema cartesiano una recta, dada su pendiente.

- Escriben una expresión algebraica que corresponda a la pendiente de una recta.

- Construyen una tabla de valores asociada a una ecuación lineal.

- Escriben una ecuación, dado un enunciado verbal.

- Reconocen la ecuación que corresponde a un enunciado verbal.

- Obtienen conclusiones del análisis de la ecuación que corresponde a un

  enunciado verbal.

- Valoran que una ecuación dada representa una situación de la vida cotidiana y

  corresponde a una opción conveniente en la relación costo-beneficio.

- Distinguen entre variable dependiente y variable independiente.

- Grafican en un sistema cartesiano dos rectas de un sistema de ecuaciones

  lineales.

- Deducen la solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales.

- Analizan el número de soluciones que tiene un sistema de ecuaciones lineales.

- Aplican un método de solución algebraico para resolver un sistema de

  ecuaciones lineales. 

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades de

  organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento

  lógico, mediante contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de

  algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por

  un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro.

- Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad

  y utilizar el conocimiento y la información.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha 10: “Sistemas de ecuaciones”.

- Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM2 “Álgebra y funciones”.

 

Actividades propuestas para este tema:

Para este tema proponemos la actividad “Patinetas: ¿da lo mismo el precio?”,

sobre el uso y resolución de sistemas lineales de ecuaciones con dos

incógnitas.

 

 

ACTIVIDAD: Patinetas: ¿da lo mismo el precio?

 

2H 

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa1

 

2. Desarrollo de la actividad: Patinetas: ¿da lo mismo el precio?

 

Paso 1

Como actividad de motivación e introducción lean la pregunta inicial de la

actividad:

 

Patinetas: ¿da lo mismo el precio?

 

En Atina-Net hay un letrero en que puede leerse: “$ 500 + $ 200 por hora”.

 

En Patio-Neta hay un letrero en que puede leerse: “$ 800 + $ 100 por hora”.

 

Es decir, queda claro que no son iguales los dineros que cobran estas

empresas para ir a practicar patineta en uno de estos recintos.

Cada cual hace su oferta y de acuerdo con estos antecedentes, se  podrá

tomar la mejor decisión: aquella que resulte más conveniente considerando la

relación costos-beneficios.

Informarse para tomar una decisión es una buena estrategia.

 

Pida a sus estudiantes que respondan la pregunta inicial expresando lo que

piensan, fundamentando siempre su respuesta y dando ejemplos. Así, da

oportunidad para que los estudiantes se manifiesten según sus propios

conocimientos. Es recomendable ir escribiendo en la pizarra una síntesis de lo

que ellos van diciendo. Es interesante considerar otras variables que van más

allá del dinero al momento de elegir (distancia, tiempo de traslado y otras).

Entrégueles bibliografía o direcciones en la red para que indaguen y corroboren

sus respuestas.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal www.educarchile.cl.

 

 

Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la

actividad. Las respuestas aparecen en azul. 

Entonces:

 

I. Diseño de una rampa para patinetas

 

Los estudiantes deben responder preguntas de conocimiento y análisis de la

siguiente figura:

 

triangle

 

Entonces, si un practicante de patineta construye una rampa de acuerdo con

este plano y la coloca de tal manera que la parte superior de la rampa queda

a la derecha:

 

1) ¿Cuál es la variación vertical de la pendiente de la rampa?

    60 cm

 

2) ¿Cuál es la variación horizontal de la pendiente de la rampa?

    200 cm

 

3) ¿Cuál es la pendiente de la rampa?

 

form1

 

Para aumentar la dificultad de sus movimientos, el patinador construye dos

rampas idénticas basándose en el plano y coloca las rampas a cada uno de los

lados de una plataforma: una rampa que sube a la izquierda y una que baja a

la derecha. 

 

4) ¿Cuál es la pendiente de la rampa que está a la derecha? 

    - 0,3

 

5) Grafica las pendientes de ambas rampas. Representa la variación horizontal

    en el eje X, y la variación vertical en el eje Y.

 

   form1

 

Un patinador necesita una rampa más larga que aquella del plano, pero con

igual  pendiente. La ecuación para la pendiente es form2.

 

Si ahora la longitud horizontal de la rampa es 240 cm:

 

6) ¿Cuál es la altura de la rampa?

 

form3

 

7) En relación con la rampa original y la rampa más larga:

a) Escribe las expresiones que corresponden a las respectivas pendientes

    de las rampa.

 

form4

 

b) ¿Qué posición tienen estas rectas en el plano? 

    Son paralelas.

 

8) Un patinador quiere construir una rampa con una pendiente más empinada.

     Necesita  descubrir las dimensiones de la rampa. La pendiente de esta

     nueva rampa, ¿será menor o mayor que la pendiente de la rampa original?

     La pendiente será mayor que 0,3.

 

Paso 3

Luego de estas preguntas, comience la segunda parte de la actividad referente al análisis de precios del uso de rampas para patinetas. Mediante la actividad los estudiantes reforzarán, entre otras cosas, operaciones matemáticas básicas.

 

Existen lugares especialmente habilitados para practicar patineta. Y utilizar sus instalaciones tiene un precio que se cobra por hora de uso.

En Atina-Net hay un letrero en que puede leerse: “$ 500 + $ 200 por hora”.

En Patio-Neta hay un letrero en que puede leerse: “$ 800 + $ 100 por hora”.

 

1) Completa la siguiente tabla para obtener diferentes valores según el

     tiempo de uso de las pistas de patineta.

 

               tabla2 

2) Escribe una ecuación que equivalga al precio que pagaría un cliente de

     Atina-Net por ocupar sus instalaciones, según el número de horas de uso.

     y = 500 + 200 • x

 

3) Escribe una ecuación que equivalga al precio que pagaría un cliente de

     Patio-Neta por ocupar sus instalaciones, según el número de horas de uso.

     y = 800 + 100 • x

 

4) Explica por qué “y = 500 + 200 x” representa el precio que se pagaría por

ir a Atina-Net.

En Atina-Net el costo inicial es de $ 500. Si x es el número de horas

y $ 200 es la tarifa por hora, entonces a 500 se le debe sumar 200

x. Por lo tanto, 500 + 200 x representa el costo total.

 

5) Explica por qué “y = 800 + 100 x” representa el precio que se pagaría por

ir a Patio-Neta.

En Patio-Neta el costo inicial es de $ 800. Si x es el número de

horas y $ 100 es la tarifa por hora, entonces a 800 se le debe sumar

100 x. Por lo tanto, 800 + 100 x representa el costo total.

 

6) ¿Qué lugar ofrece la tarifa más conveniente si una persona asiste a

practicar solamente una hora? ¿Por qué?

Por una hora es más conveniente ir a Atina-Net. Porque Atina-Net

cobra $ 700 y Patio-Neta cobra $ 900.

 

7) Un deportista de la patineta:

a)  ¿Cuántas horas debería permanecer practicando para obtener el mismo

precio en cualquiera de los dos lugares?

Tres horas.

 

b) ¿Y cuál es ese mismo precio?

Ese mismo precio es de $ 1.100

 

8) ¿Después de cuántas horas resulta más económico ir a Patio-Neta?

Después de tres horas es más económico ir a Patio-Neta. Es decir,

cuatro o más horas.

 

9) En este mismo gráfico dibuja las dos rectas que representan ambas

situaciones.

 

         graf

 

10)  ¿Cuál es la solución gráfica del sistema de ecuaciones?

       El punto de coordenadas (3, 1.100).

 

11)  ¿Qué posición tienen las dos rectas entre sí en el plano?

        Son rectas secantes.

 

12)  Entonces, ¿cuántas soluciones tiene este problema?

El problema tiene una única solución que responde a la pregunta de

si da lo mismo el precio que cobra cada una de las empresas. Esa

solución es el punto en que se intersectan las dos rectas en un

único punto de coordenadas (3, 1.100).

 

13)  ¿Y cómo se interpreta esa solución?

La interpretación que podemos dar es que usando durante tres

horas cualquiera de los dos recintos para practicar patineta, el

precio es el mismo. Así se interpreta esta solución única.

 

14)  Escribe el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se utiliza.

 

                            form5

 

15)  Para resolver algebraicamente el problema podría utilizarse el llamado

“método de igualación”. Entonces, al despejar una misma incógnita en

ambas ecuaciones, ¿cuál es la igualdad que se obtiene? Resuelve.

 

Posible solución:

Método de igualación:

            y  =  y

 500 + 200 x  =  800 + 100 x

200 x – 100 x  =  800 – 500

       100  x  =  300

 

             X  =  300100

 

16)  Para calcular la segunda incógnita se reemplaza el valor de la primera

incógnita en cualquiera de las ecuaciones originales. Siendo así, ¿cuál es el

valor de la segunda incógnita?

 

Posible solución:

y  =  800  +  100  x

y  =  800  +  100    3

y  =  800  +  300

y  =  1.100

 

17)  En esta situación de los recintos pagados para practicar patineta: 

 

a) ¿Qué tipo de variable es el “número de horas de uso del recinto”?

    Variable independiente.

 

b) ¿Qué tipo de variable es el “precio”?

    Variable dependiente.

 

Paso 3

Concluya la actividad con el resumen que está en la guía para el estudiante.

Pueden volver a la pregunta con que iniciaron esta actividad.

 

                   Patinetas: ¿da lo mismo el precio?

 

En Atina-Net hay un letrero en que puede leerse: “$200 + $500 por hora”.

En Patio-Neta hay un letrero en que puede leerse: “$100 + $800 por hora”.

 

Analice los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos y refuerce los

aprendizajes que presentan más problemas.

Información

Técnica

Descripción BreveEn 2° medio, en la asignatura de matemáticas, te encontrarás con los sistemas de ecuaciones. A continuación podrás conocer y aprender esta materia.
Temas relacionados

>>Recurso interactivo: Sistemas de Ecuaciones

>>Recurso interactivo: Resolución de sistema de ecuaciones

>>Texto: Ecuaciones algebraicas con dos incógnitas

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
2° medioMatemáticaÁlgebra

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