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Ficha temática

Criterios de congruencia

El siguiente recurso trata acerca de los criterios de congruencia. Te invitamos a visitarlo y aprender matemáticas. ¡Verás que es fácil!

Criterios de congruencia

1. Figuras geométricas congruentes
Dos o más figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Se demuestra que son congruentes si sus ángulos homólogos (correspondientes) tienen la misma medida y sus lados homólogos son congruentes entre sí, es decir, tienen la misma medida de longitud. Por ejemplo:

Ejemplo de criterio ele ele ele

Las figuras A, B y C son congruentes, pues tienen la misma forma y el mismo tamaño. La figura D, en cambio, no es congruente a las anteriores porque su tamaño es mayor.

1.2 Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida, y sus lados homólogos miden lo mismo. Sin embargo, para construir un triángulo congruente, es necesario conocer tres de sus medidas, y uno de esos datos debe ser la medida de un lado.
Como los elementos primarios de los triángulos (ángulos y lados) son dependientes, la información mínima necesaria para que los triángulos sean congruentes responde a los llamados criterios de congruencia:

Criterios de congruencia de triángulos
1. Criterio (L, L, L)

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes:

Ejemplo de criterio ele ele ele

2. Criterio (L, A, L)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.

Ejemplo de criterio ele a ele

3. Criterio (A, L, A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos congruentes.

Ejemplo de criterio a ele a

4. Criterio (L, L, A>)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo opuesto mayor de estos lados congruentes.

Ejemplo de criterio ele ele ángulo mayor

Ejemplos:

1)  En la figura, se tiene un triángulo ABC  isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?

Figura

a) Los triángulos AEC y BFC son congruentes puesto que:

AE congruente FB por hipótesis, ya que la base AB se dividió en partes iguales

menorCAB congruentemenorCBA, por hipótesis, ya que ABC es un triángulo isósceles

AC congruente BC, por hipótesis, ya que ABC es un triángulo isósceles

Por lo tanto, por criterio LAL, se deduce que AEC congruente BFC  

b) Los triángulos EDC y FDC son congruentes puesto que:

CD congruente CD, pues es trazo común en ambos triángulos.

menorCDE congruente menorCDF, porque CD es altura del triángulo isósceles, por lo tanto corta a la base en ángulo recto.

ED congruente DF, por hipótesis , pues AB se ha dividido en partes iguales.

Por lo tanto, por criterio LAL, se deduce que EDC congruente FDC

2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes posiciones.

Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones.¿Podrías deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?

Figuras

3) En la figura, se ha superpuesto un cuadrado sobre otro congruente, formando un octógono regular.

octógono regular

Demuestra que los triángulos que se forman son congruentes.

- Los trazos que forman el octógono son congruentes por ser una figura regular.
- Los ángulos agudos de cada triángulo son suplementarios con cada ángulo interior del octógono, los que son congruentes entre si. Por tanto, los triángulos deben ser isósceles rectángulos, ya que todos tienen un ángulo que es parte de los cuadrados.
- Por lo tanto, los ángulos de los triángulos son 90º, 45º y 45º, y además sus hipotenusas son congruentes entre si.

Podemos deducir que por criterio ALA los triángulos son congruentes.

Imagen de una figura con sus lados congruetntes CRITERIOS DE CONGRUENCIA Un puente es una construcción en la que intervienen ciencia y arte. Los ingenieros usan las ciencias (entre ellas la matemática) para asegurarse de que los puentes puedan soportar el peso de vehículos y transeúntes. Los arquitectos trabajan con los ingenieros y usan sus talentos artísticos y conocimientos estructurales para construir puentes que sean no solo resistentes y funcionales sino también agradables a la vista. Tanto la resistencia como la estética se ven perfeccionadas por el uso de una propiedad llamada simetría. Un puente simétrico es aquel formado por muchos triángulos dispuestos en pares. Para cada triángulo de un lado del puente, hay un triángulo correspondiente en el lado opuesto; un triángulo congruente, dirían los matemáticos Ir a la actividad
Imagen de figura de lados congruentes  Guía del docente: CRITERIOS DE CONGRUENCIA



Descripción curricular:

- Nivel: 1.º medio 

- Sector: Matemática

- Unidad temática: Geometría

- Palabras claves: triángulos, proporcionalidad, congruencia, criterios de

congruencia, ángulo, lado, L.L.L, L.A.L, A.L.A, L.L.A

 

- Contenidos curriculares: 

- Analizar aspectos cuantitativos y relaciones geométricas

presentes en la vida cotidiana y en el mundo de las ciencias.

- Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al

estudio de la proporcionalidad, del lenguaje algebraico inicial y

de la congruencia de figuras planas.

- Representar información cuantitativa a través de gráficos y

esquemas.

- Resolver problemas seleccionando secuencias adecuadas

de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una

sistematización del método ensayo-error; analizar la

pertinencia de los datos y soluciones.

- Representar información cuantitativa a través de gráficos y

esquemas; analizar invariantes relativas a desplazamientos y

cambios de ubicación utilizando el dibujo geométrico.

 

- Contenidos relacionados:

- 1.º Medio: 

  Congruencia de dos figuras planas.

  Criterios de congruencia de triángulos.

  Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos,

   ángulos y triángulos.

  Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y

   circunferencia, relacionadas con congruencia.

- 2.º Medio:

  Semejanza de figuras planas.

  Criterios de semejanza. Dibujo a escala en diversos

   contextos.

  Distinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de los

   argumentos.

  Planteo y resolución de problemas relativos a trazos 

   proporcionales. Análisis de los datos y de la factibilidad de

   las soluciones.

  Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en

   triángulos, cuadriláteros y circunferencia, como aplicación

   del teorema de Thales.

  Relación entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad

   entre trazos. 

- 3.º Medio:

  Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la

   proporcionalidad en el triángulo rectángulo.

  Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. 

  Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o

   distancias inaccesibles que pueden involucrar

   proporcionalidad en triángulos rectángulos. 

  Análisis y pertinencia de las soluciones.

  Uso de calculadora científica para apoyar la resolución de

   problemas. 

  Comentario histórico sobre los números que determinan

   tríos pitagóricos.

- 4.º Medio:

  Resolución de problemas que plantean diversas relaciones

   entre cuerpos geométricos.

 

- Aprendizajes esperados:

- Analizan los datos necesarios y suficientes para construir

un triángulo y lo relacionan con los criterios de

congruencia de triángulos.

- Componen y descomponen figuras geométricas; analizan

congruencia entre sus lados y ángulos.

- Resuelven problemas que involucran congruencia de

trazos, ángulos y triángulos. 

- Conjeturan y demuestran propiedades en triángulos,

cuadriláteros y circunferencia por medio de congruencia de

triángulos.

- Conocen algunos antecedentes acerca del aporte de

Euclides a la geometría.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Dados dos triángulos, reconocen las medidas de sus lados

  correspondientes.

- Dados dos triángulos, reconocen las medidas de sus ángulos

  correspondientes.

- Analizan si los lados correspondientes de dos triángulos dados son

  congruentes entre sí.

- Analizan si los ángulos correspondientes de dos triángulos dados son

  congruentes entre sí.

- Justifican por qué los lados correspondientes entre dos triángulos son

  congruentes.

- Justifican por qué los lados correspondientes entre dos triángulos son

  congruentes.

- Examinan qué criterio se aplica para validar la congruencia entre

  triángulos.

- Deducen la medida de un lado o de un ángulo de un triángulo, tras

  asegurar que es congruente con otro triángulo.

 

- Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las

actividades de organización de datos, y las de resolución de problemas y

de pensamiento lógico, mediante contenidos y actividades orientados al

aprendizaje de algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de

leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones

observadas, por otro.

- Desarrollan actitudes de rigor y perseverancia.

- Desarrollan actitudes orientadas al interés y capacidad de conocer la

realidad y utilizar el conocimiento y la información.

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha 6: “Criterios de congruencia”

- Animación digital: “Segmentos proporcionales en el triángulo

rectángulo”. Esta animación complementa y profundiza la actividad

propuesta más adelante. 

 

Actividades propuestas para este tema:

Para este tema proponemos la actividad “¿Un puente resiste mejor con

triángulos congruentes?”, referente al uso de criterios de congruencia de

triángulos.

 

ACTIVIDAD: ¿Un puente resiste mejor con triángulos congruentes?

 

1H

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa

 

2. Desarrollo de la actividad: ¿Un puente resiste mejor con triángulos

congruentes?

 

Paso 1

Como actividad de motivación e introducción lea el siguiente texto a sus

alumnos:

 

Un puente es una construcción en la que intervienen ciencia y arte. Los

ingenieros usan las ciencias (entre ellas la matemática) para asegurarse de

que los puentes puedan soportar el peso de vehículos y transeúntes. Los

arquitectos trabajan con los ingenieros y usan sus talentos artísticos y

conocimientos estructurales para construir puentes que sean no solo

resistentes y funcionales sino también agradables a la vista. Tanto la

resistencia como la estética se ven perfeccionadas por el uso de una

propiedad llamada simetría. Un puente simétrico es aquel formado por

muchos triángulos dispuestos en pares. Para cada triángulo de un lado del

puente, hay un triángulo correspondiente en el lado opuesto; un triángulo

congruente, dirían los matemáticos.

 

Pida a sus estudiantes que respondan la pregunta inicial, fundamentando

siempre su respuesta con ejemplos. Se recomienda ir escribiendo en la pizarra

una síntesis de lo que ellos van diciendo.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal www.educarchile.cl.

 

Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la

actividad. Las respuestas aparecen en azul.

 

1) En la Figura 1, las medidas de los lados de los triángulos están expresadas

en pulgadas (“). Entonces:

 

a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo de la izquierda?

    30 ; 40 y 50

 

b) ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo de la derecha?

    30; 40 y 50

 

c) ¿Los lados correspondientes son congruentes? Explica.

    Sí, porque tienen medidas iguales.

 

d) ¿Qué criterio nos asegura que estos triángulos son congruentes?

    El criterio  L.L.L.

 

e) Siendo que todos los lados correspondientes son congruentes,

  ¿qué nos ayudaría a entender que <A  y  <B tienen medidas iguales?

  Siempre ocurre que en los polígonos congruentes, todos los

  elementos correspondientes tienen medidas iguales, o sea,

  son congruentes.

 

f) ¿Cómo se comprobaría que <A  es congruente con <B?

    Midiendo <A y <B con un transportador.

 

2) En la Figura 2, las medidas de los lados de los triángulos están

expresadas en pulgadas (“). Entonces:

 

a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo de la izquierda?

    30 y 40

 

b) ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo de la derecha?

     30 y 40

 

c) ¿Cuál es la medida del <A?

    90º

 

d) ¿Cuál es la medida del <B?

    90º

 

e) ¿Los lados correspondientes son congruentes? Explica.

     Sí, porque tienen medidas iguales.

 

f) ¿Los ángulos correspondientes son congruentes? Explica.

    Sí, porque tienen medidas iguales.

 

g) ¿Qué criterio nos asegura que estos triángulos son congruentes?

    El criterio L.A.L.

 

 

3) En la Figura 3, las medidas de los lados de los triángulos están

  expresadas en pulgadas (“). Entonces:

 

a) ¿Cuánto mide uno de los lados del triángulo de la izquierda?

    50

 

b) ¿Cuánto mide uno de los lados del triángulo de la derecha?

    50“

 

c) ¿Estos lados son congruentes? Explica.

    Sí, porque tienen medidas iguales.

 

d) ¿Cuáles son las medidas conocidas de los ángulos del triángulo de

   la izquierda?

   50º y 80º

 

e) ¿Cuáles son las medidas conocidas de los ángulos del triángulo de

   la derecha?

   50º y 80º

 

f) ¿Los ángulos correspondientes son congruentes? Explica.

   Sí, porque tienen medidas iguales.

 

g) ¿Qué criterio nos asegura que estos triángulos son congruentes?

    El criterio A.L.A.

 

h) ¿Cuál es la medida del <A?

    50º

 

i) ¿Cuál es la medida del <B?

   50º

 

4) En la Figura 4, las medidas de los lados de los triángulos están

expresadas en pulgadas (“). Entonces:

 

a) ¿Cuánto miden los lados del triángulo de la izquierda?

    50 y 60

 

b) ¿Cuánto miden los lados del triángulo de la derecha?

    50 y 60

 

c) ¿Estos lados son congruentes? Explica.

    Sí, porque tienen medidas iguales.

 

d) ¿Cuánto mide el ángulo dado en el triángulo de la izquierda?

    80º

 

e) ¿Cuánto mide el ángulo dado en el triángulo de la derecha?

    80º

 

f) ¿Los ángulos correspondientes son congruentes? Explica.

   Sí, porque tienen medidas iguales.

 

g) ¿Qué criterio nos asegura que estos triángulos son congruentes?

    El criterio L.L.A.

 

Si los triángulos sombreados son isósceles de base 60” y ángulo del vértice 80º:

 

h) ¿Cuánto mide el otro lado?

    50

 

i) ¿Cuánto miden los ángulos basales?

   50º cada ángulo basal.

 

Paso 3

Concluya la actividad volviendo a la pregunta inicial: 

¿Un puente resiste mejor con triángulos congruentes?

 

Pida a sus estudiantes que respondan.

 

Un puente que tiene en su estructura triángulos congruentes es más resistente

que un puente que tiene triángulos diferentes. Ello porque las fuerzas (de

empuje) se distribuyen con más uniformidad.

 

Analicen los resultados obtenidos y refuerce los aprendizajes que presentan

más problemas.

Para profundizar en el tema los estudiantes pueden ver la animación sobre los

segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo (teorema de Euclides

referido a la altura) que se encuentra disponible en el portal

www.educarchile.cl cuyo nombre es “Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo”.

Información

Técnica

Descripción BreveEl siguiente recurso trata acerca de los criterios de congruencia. Te invitamos a visitarlo y aprender matemáticas. ¡Verás que es fácil!
Temas relacionados

>>Recurso Interactivo: Congruencia de triángulos y sus aplicaciones

>>Presentación: Geometría

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
1° medioMatemáticaNúmeros

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