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Ficha temática

Ecuaciones de primer grado

Te invitamos a estudiar las ecuaciones de primer grado, materia de primero medio, con el siguiente recurso desarrollado por educarchile.

Ecuaciones de primer grado

1. Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.

Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.

Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación:

(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)

a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión

x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4

x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4

b) Trasponemos los términos:

x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;

c) Reducimos términos semejantes:

6x = -4 ;

d) Dividimos por 6:

x = -4/6

e) Simplificamos por 2:

x = -2/3

1.1. Ecuaciones literales de primer grado

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla.

Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)

Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y trasponemos términos:

a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a

b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b

c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b

d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):

(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)

Por lo tanto:

Ecuación

1.2. Planteo de ecuaciones de primer grado

Le pregunté a José su edad y me contestó que tiene el sucesor del doble de la edad de Andrés. Si Andrés tenía 34 años cuando se casó y esto fue hace 5 años, ¿Qué edad tenía José entonces?

¿Cómo resolvemos este y otros problemas?

Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas transformar un enunciado en una expresión algebraica. Para ello a continuación te entregamos una lista de transformaciones:

El doble de a.........................................................2a
El triple de b..........................................................3b
El cuádruplo de c..................................................4c
El cuadrado de d...................................................d2
El cubo de e..........................................................e3
El antecesor del N° entero f..................................f – 1
El sucesor del N° entero g ...................................g + 1
El cuadrado del doble de h...................................(2h)2
El doble del cuadrado de m.....................................2• m2

Ecuación

Si n es un número natural:

Un número par......................................................2n
Un número impar .................................................2n – 1 o 2n + 1
Dos números consecutivos....................................n y n +1
Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n + 2
Dos números impares consecutivos......................2n – 1 y 2n + 1

Para mayor ejercitación acerca de interpretaciones de enunciados, te sugerimos visitar la página. Guía de ecuaciones

Ejemplos de planteo de ecuaciones:

Ejemplo 1:

Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.

Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:

(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:

x2 + 2x + 1 – x2 = 9

2x + 1 = 9

x = 4;

Por lo tanto los números son 4 y 5.

Ejemplo 2:

Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. ¿Qué edad tiene el menor?

Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:

x + 2x + 1 = 97

3x = 96

x = 32

Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65.

Respuesta: la edad del menor es 32.

Sitios sugeridos

Visualización productos notables

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/visualizaciones/productos_notables_visualizaciones.htm

Desarrollo productos notables

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

http://www.rmm.cl/usuarios/joliv/doc/200511112241000.ALGEBRA.ppt?PHPSESSID=4a43be62adc6648d54387e6bcab17159

http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/node4.html Guía de ecuaciones

Imagen de una ecuación ECUACIONES DE PRIMER GRADOEducarchile Una forma muy común de resolver ecuaciones que tengan más de una variable es asignándole letras a esas variables. Analicemos el siguiente ejemplo: Pedro, Diego y Cristóbal tienen $12.000 en conjunto. Para este enunciado podemos sintetizar lo siguiente: P + D + C = $ 12.000. ¿A qué nos referimos con las letras P, D y C en el enunciado anterior? Ir a la actividad
Imagen de una ecuación Guía del docente: ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Educarchile
Descripción curricular:

- Nivel: 1º Medio 

- Subsector: Matemática.

- Unidad temática: Álgebra y Funciones.

- Palabras claves: Planteo de ecuaciones, ecuaciones de primer grado, traducción.

- Contenidos curriculares: 

- Sentido, notación y uso de las letras en el lenguaje algebraico.

- Operatoria algebraica. Generalización de la operatoria

aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los

paréntesis. Reducción de términos semejantes.

- Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de

primer grado con una incógnita. Análisis de los datos, las

soluciones y su pertinencia.

 

- Contenidos relacionados:

- 1º Medio: 

Sintaxis del lenguaje algebraico.

- 2º Medio:

Expresiones algebraicas fraccionarias simples, (con binomios o

  productos notables en el numerador y en el denominador).

Simplificación, multiplicación y adición de expresiones

  fraccionarias simples.

Relación entre la operatoria con fracciones y la operatoria con

  expresiones fraccionarias.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos

  incógnitas. Gráfico de las rectas correspondientes.

Planteo y resolución de problemas y desafíos que involucren

  sistemas de ecuaciones. Análisis y pertinencia de las soluciones.

- 3º Medio:

Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales.

- 4º Medio: 

Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y

  gráfica.

 

- Aprendizajes esperados:

- Utilizan letras para representar números. Evalúan expresiones algebraicas.

- Representan categorías de números por medio de expresiones

  algebraicas: múltiplos de ... ; factores de ... ; mayores que ... ;

  números pares, etc.

- Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las

  que utilizan letras como incógnita. Plantean y resuelven

  problemas que involucran ecuaciones de primer grado con una

  incógnita.

 

- Conjeturan y generalizan acerca de patrones numéricos o

  geométricos utilizando expresiones literales.

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Conozcan el origen del álgebra.

- Asocien expresiones verbales con una operatoria.

- Traduzcan desde el lenguaje común (enunciados verbales) hasta el

  lenguaje simbólico (algebraico).

- Traduzcan desde el lenguaje simbólico (algebraico) hasta el lenguaje

  común (enunciado verbal).

 

Recursos disponibles en www.educarchile.cl:

- Ficha 5: “Ecuaciones de primer grado”. 

- Presentación digital (ppt): “Algebra y funciones”.

 

Actividades propuestas para este tema:

En esta actividad los estudiantes construyen una tabla de expresiones

algebraicas comunes y luego la utilizarán en el planteamiento de ecuaciones. 

 

 

ACTIVIDAD: ¡El primer diccionario matemático!

 

2H 

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa1

 

2. Desarrollo de la actividad: ¡El primer diccionario matemático!

 

Paso1

Como actividad de motivación e introducción se hace referencia a la relación

entre la asignación de variables a la formulación de una ecuación.

Por ejemplo: 

Simbolicemos la siguiente expresión: 

- Pedro, Diego y Cristóbal tienen $12.000 en conjunto.

- Pamela, Daniela y Javier compraron 8 botellas de bebida en total. 

- El doble de 8 es 16.

- La mitad de 20 es 10. 

- La suma de un número y el doble del mismo número es 12.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego

comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible

en el portal Educarchile.

 

La primera actividad consiste en elaborar una pequeña tabla con las

expresiones algebraicas más comunes. A continuación se encuentra la tabla

disponible:

 

tabla

 

Paso 3

Una vez que los estudiantes terminen de elaborar la tabla, revísenla en

conjunto para corregir los posibles errores. 

Luego pídale a sus estudiantes que utilicen esta tabla en los siguientes

ejercicios: 

 

Primero deben traducir los enunciados a expresión algebraica:

 

 

a) El triple de un número aumentado en el doble de otro número: form1

 

 

b) El cuadrado del doble de un número: form2

 

 

c) El doble del cuadrado de un número: form3

 

d) La mitad de un número disminuido en la sexta parte de otro:  form4

 

e) El cociente entre el quíntuple de un número y 4:  form6

 

 

Luego deben escribir el enunciado desde una expresión algebraica: 

 

 

a) x2: La mitad de un numero al cuadrado.

 

b) mpn4: La diferencia entre la razón entre dos números y la cuarta parte

de otro.

 

c) 3m22m: La diferencia entre el triple de un número al cuadrado y el

doble del mismo número.

 

d) x2ab: La diferencia entre un número al cuadrado y la raíz

cuadrada de la suma los cuadrados de dos números.

 

Paso 4: 

Concluya esta actividad revisando los ejercicios planteados. Verifique que sus

estudiantes comprenden la transformación de enunciados a expresiones

algebraicas y viceversa.

Puede utilizar la presentación ppt “Algebra y funciones” disponible en

educarchile, para cerrar esta actividad.

Información

Técnica

Descripción BreveTe invitamos a estudiar las ecuaciones de primer grado, materia de primero medio, con el siguiente recurso desarrollado por educarchile.
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IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
1° medioMatemáticaÁlgebra

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