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Ficha temática

Razones y proporciones

El siguiente recurso trata acerca de las razones y proporciones. Te invitamos a aprender esta materia de 1° medio mediante este interesante contenido. Entrega ejercicios.

Razones y proporciones

1. Razones y proporciones
Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades que se realiza mediante un cociente a : b, y se lee a es a  b.

Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:

12 : 15 o Doce partido por quince. Si simplificamos la fracción obtenemos: Cuatro partido por cinco

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Doce partido por quince igual a cuatro partido por cinco

Es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12• 5 = 4• 15

Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es: a es a b como c es a d entonces a por d es igual a b por c

1.1. Proporcionalidad directa
Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:

x e y están en proporcionalidad directa entonces x partido por y es igual a k

k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.

tabla

Ejemplo:

Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?
Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales).

dieciseis kilómetros partido por un litro es igual a ciento noventa y dos kilómetros partido por x litros

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Dieciseis x es igual a ciento noventa y dos por uno entonces x es igual a ciento noventa y dos partido por 16 que es igual a doce litros

Entonces,

16/1 = 16 (constante)    y    192/12 = 16 (constante)

1.2. Proporcionalidad inversa
Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:

x e y están en proporcionalidad inversa entonces x por y es igual a k

k es la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Gráfico de proporcionalidad inversa

Analizando el gráfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.
Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?
La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

Tres por cinco es igual a cuatro por x entonces x es igual a quince partido por cuatro que es igual a tres coma setenta y cinco días

entonces, 3 x 5 = 15 (constante)    y    4 x 3,75 = 15(constante)

1.3. Proporcionalidad compuesta
La proporcionalidad compuesta permite relacionar variables mediante proporcionalidad directa y/o proporcionalidad inversa.
Para resolver ejercicios de este tipo, primero se debe dilucidar qué proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de proporcionalidad que nos permitirá determinar si son proporcionales o inversamente proporcionales.

Ejemplo:
Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros pavimentarán 5 km en 10 días?
a) En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables.
Sean: obreros (O) – longitud del camino (L):

Estas dos variables están en proporcionalidad directa, ya que entre más obreros, más km de camino se pavimentarán, por lo tanto:

o partido por l = contante

b) Por otra parte, las variables obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa respecto de la cantidad de km por pavimentar, ya que entre más obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino.
Por lo tanto, O• T = constante.
De lo anterior se deduce que:

o por t partido por l = contante

Aplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos que:

o por t partido por l es igual a veinte por cinco partido por dos que es igual a x por diez partido por cinco

Multiplicando cruzado en esta proporción y despejando x obtenemos:

x = 25 obreros

Entonces, se requieren 25 trabajadores para pavimentar 5 km de camino en 10 días.

2. Porcentaje
El porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un 100%.
Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido 5% significa que se ha incrementado 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte.
Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fracción. Por ejemplo, el 12% de 600 es:

doce partido por cien por seiscientos igual setenta y dos

El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad directa:

Cálculo por proporcionalidad directa

Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje relacionados con ganancia y pérdida. Por ejemplo:
El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. ¿Qué % de descuento se le aplicó?
En este caso, se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que disminuyó: $15.000 – $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del precio original, por lo tanto:

Ecuación

Veamos ahora otro ejemplo:

¿Qué % es 0,2 de 4?

En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporción:

proporción

Ejercita porcentajes visitando: 

www.monografias.com/Matematicas/index.shtml

Imagen a color que mustra un cuadro dividido en partes RAZONES Y PROPORCIONESEducarchile En la vida diaria usamos a menudo las proporciones y no nos damos cuenta. Un ejemplo de ello es cuando compramos pan. Lo compramos por kilo o por medio kilo.Ir a la actividad
Imagen a color de un cuadro dividido en varias partes RAZONES Y PROPORCIONES
Educarchile

Descripción curricular:

- Nivel: 1º Medio.

- Subsector: Matemática.

- Unidad temática: Proporcionalidad.

- Palabras claves: Proporcionalidad, constante de proporcionalidad.

- Contenidos curriculares: 

- Planteo y resolución de problemas que involucren

proporciones directa e inversa. Resolución de ecuaciones con

proporciones. 

- Proporcionalidad directa; razones internas y constantes de

proporcionalidad.

- Proporcionalidad inversa; razones inversas

 

- Contenidos relacionados:

- 1º medio: 

Proporcionalidades directas e inversas; constantes de proporcionalidad;

su relación con un cuociente o un producto constante.

- 2º medio:

Teorema de Thales sobre trazos proporcionales. División

interior de un trazo en una razón dada.

Planteo y resolución de problemas relativos a trazos

proporcionales. Análisis de los datos y de la factibilidad de las

soluciones.

Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en

triángulos, cuadriláteros y circunferencia, como aplicación del

Teorema de Thales. Relación entre paralelismo, semejanza y

la proporcionalidad entre trazos. Presencia de la geometría en

expresiones artísticas; por ejemplo, la razón áurea.

- 3º medio:

Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la

proporcionalidad en el triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

 

- Aprendizajes esperados:

- Resuelven problemas de proporcionalidad directa; los

representan utilizando diversos registros (tabla de valores,

gráfico y expresión algebraica).

- Analizan y comparan gráficos de variación proporcional

directa.

- Resuelven problemas de proporcionalidad inversa; los

representan utilizando diversos registros (tabla de valores,

gráfico y expresión algebraica). Proporcionalidades

 

Aprendizajes esperados de esta actividad: 

- Asimilar la noción de proporción

- Usar el Teorema Fundamental de las Proporciones

- Reconocer una Proporción Directa

- Reconocer una Proporción Inversa

 

Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: 

- Ficha 3: “Razones y proporciones” 

- Diapositivas digitales (ppt): “Números y proporcionalidad”

 

Actividades propuestas para este tema:

Para este tema, proponemos una actividad titulada ¡Un kilo de pan!, en la que

los alumnos recuerdan algunos conceptos de proporciones y utilizan esta

herramienta para calcular el precio de distintas cantidades de pan.

 

 

 

ACTIVIDAD: ¡Un kilo de pan!

 

2H

 

1. Mapa de contenidos tratados

 

mapa1 

 

2. Desarrollo de la actividad: ¡Un kilo de pan!

 

Paso1

Introduzca o motive al tema conversando con sus estudiantes sobre

situaciones de la vida diaria en la que tiene que usar las proporciones para

hacer cálculos rápidos. Por ejemplo, como la situación de la compra del pan

que pusimos en la introducción de la guía del estudiante. Indague si utilizan las

proporciones y cómo hacen los cálculos según su experiencia. Algunos otros

ejemplos son:

 

- Compra de queso, jamón, carne. 

- Las expresiones: “me das media tasa de té (café)”. Expresión que se

puede trasladar a otras similares: “Sírveme medio plato de comida”, etc. 

 

Entréguele usted bibliografía o direcciones web para que indaguen y

corroboren sus respuestas.

 

Paso 2

Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea. La guía para el

estudiante se encuentra disponible en el portal www.educarchile.cl

En esta guía los estudiantes deben manejar algunos conceptos acerca de las

proporciones, por ello recomendamos realizar esta actividad luego de revisar

los contenidos correspondientes. 

 

Luego, podrán responder las preguntas y completar la tabla que se adjunta:

 

a) ¿Cuántos tipos de proporcionalidad existen? ¿Cuáles son?

 

Existen dos tipos, y son la Proporción Directa y la Proporción Inversa

 

b) ¿Cómo reconocemos una Proporción Directa?

 

Mediante la premisa: “Si una magnitud aumenta, la otra magnitud

también aumenta o si una magnitud disminuye, la otra por ende

también disminuye”.

 

c) ¿Cómo reconocemos una Proporción Inversa?

 

Mediante la premisa: “Si una magnitud aumenta, la otra magnitud

disminuye o si una magnitud disminuye, la otra por ende aumenta”.

 

d) ¿Cuál es el Teorema Fundamental de las Proporciones?

 

form1

 

e) Si graficamos una Proporción Directa, ¿qué se obtiene?

 

Se obtienen puntos sobre una recta en el primer cuadrante.

 

f) Si graficamos una Proporción Inversa, ¿qué se obtiene?

 

Puntos sobre una hipérbola en el primer cuadrante.

 

Basándonos en la pregunta inicial completa la siguiente tabla: 

 

tabla

 

Paso 3

Para concluir esta actividad hágales la misma pregunta a sus estudiantes con

que inició la actividad. Verifique que sus estudiantes comprenden la noción de

proporción, el uso de la constante de proporcionalidad y sus usos en la vida

diaria.

Información

Técnica

Descripción BreveEl siguiente recurso trata acerca de las razones y proporciones. Te invitamos a aprender esta materia de 1° medio mediante este interesante contenido. Entrega ejercicios.
Temas relacionados

>>Recurso Interactivo: Relaciones de Proporcionalidad

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>>Presentación: Proporcionalidad numérica

>>Recurso Interactivo: Interpretando variables proporcionales en gráficos

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
1° medioMatemáticaNúmeros
7° básicoMatemáticaNúmeros

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