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Ficha temática

Área y Volumen

Conoce el área y volumen de los cuerpos geométricos como: el cubo, el paralelepípedo recto rectangular y la esfera. El siguiente recurso entrega esta información y contiene dibujos informativos.

Área y Volumen

1. Vector.
Matemáticamente, un vector en el espacio tridimensional se expresa con 3 coordenadas (x, y, z). El vector tiene módulo (tamaño de la flecha), dirección y sentido (dado por la flecha).

Imagen que muestra las coordenadas de un vector 

2. Cuerpos geométricos

Es todo cuerpo SÓLIDO que ocupa un lugar en el espacio.

Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras.

2.1. Cuerpos poliedros
Son aquellos cuerpos que poseen todas sus caras planas o bien, todas sus caras son polígonos.

Todo cuerpo poliedro posee:

Cuerpo Poliedro 

Estos cuerpos se clasifican en:

• Poliedros regulares: Son aquellos cuyas caras son polígonos regulares congruentes entre sí. Los poliedros regulares son cinco:

o Tetraedro regular
o Hexaedro regular o cubo
o Octaedro regular
o Dodecaedro regular
o Icosaedro regular

• Poliedros irregulares: Son aquellos cuyas caras no son polígonos regulares o que no todas sus caras son congruentes entre sí. Estos poliedros se clasifican en:

o Prismas: Es un poliedro limitado por varios paralelogramos (caras laterales) y dos polígonos congruentes y paralelos en sus bases (caras basales). Un prisma puede ser:

? Oblicuo: Un prisma es oblicuo si sus aristas laterales no son perpendiculares a sus bases.
? Recto: Un prisma es recto si sus aristas laterales son perpendiculares a sus bases. En este tipo de prisma la altura es congruente con las aristas laterales. 

o Pirámides: Es un poliedro que posee sólo una cara poligonal como base y las caras laterales son triángulos que concurren en un punto llamado vértice o cúspide.

2.2. Cuerpos redondos
Son aquellos cuerpos que poseen al menos una cara curva.

3. Superficies de revolución
Son aquellos cuerpos generados por una línea que gira alrededor de una recta llamada eje de revolución. La línea que gira se llama generatriz.

Superficies de revolución 

3.1. Superficie de revolución por traslación.
Al trasladar una figura plana según un vector de traslación en el espacio tridimensional, se obtiene un cuerpo geométrico.

 Superficie de revolución por traslación

Los cuerpos generados pueden ser poliedros regulares o prismas.

3.2. Superficie de revolución por rotación.
Al rotar una figura plana entorno a uno de sus lados, se obtiene un cuerpo geométrico.

• Esfera:
Es la superficie de revolución generada al hacer rotar una semicircunferencia en torno a su diámetro.

 Esfera

• Cilindro:
Es la superficie de revolución generada al rotar un rectángulo en torno a uno de sus lados.

 Cilindro

• Cono:
Es la superficie de revolución generada al rotar un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos.

 Cono

4. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.
A continuación se presentan las fórmulas de áreas y volúmenes de aquellos cuerpos más importantes.

4.1. Cubo (Poliedro regular)

Si a es la arista de un cubo, entonces:

Área = 6a2 
Volumen = a3

Cubo

 

4.2.Paralelepípedo recto rectangular (Prisma)

Si a, b y c son los lados de un paralelepípedo, entonces:

Área = 2ab + 2ac + 2bc
Volumen = abc

Paralelepípedo recto rectangular

4.3. Cilindro recto.

Si r es el radio basal y h es la altura del prisma, entonces:

Área basal = 2?2
Área lateral = 2?h
Área total = 2?2 + 2?h
Volumen = V = ?2h

Cilindro recto circular

4.4. Cono recto circular
Si r es el radio basal, h la altura y g la generatriz del cono, entonces:
Área basal = ?r2
Área lateral = ?r g
Área total = ?r (g+r)
Volumen = 1/3?r2 h

Cono recto circular

4.5.Esfera

Si r es el

Imagen de un cubo. SI TRASLADAMOS UNA FIGURA PLANA, ¿SE GENERA VOLUMEN?Educarchile¿Es posible generar volumen mediante una traslación? Intenta responder esta pregunta y luego observa las siguientes imágenes que simulan la traslación de figuras planas. Ir a la actividad
Imagen de un cubo SI ROTAMOS UNA FIGURA PLANA, ¿SE GENERA VOLUMEN?EducarchileEl documento que se muestra a continuación presenta una actividad en donde se hacen girar figuras planas, con el objetivo de formar figuras en tres dimensiones Ir a la actividad
Imagen de un cubo Guía del docente: áreas y volúmenes
Educarchile

Descripción curricular:

-Nivel: 4º medio

-Sector: Matemática

-Unidad temática: Geometría.

-Palabras claves: espacio tridimensional – vector – polígono – prisma – cono – cilindro – esfera – traslación – rotación – generatriz – superficie – área – volumen –

-Contenidos curriculares:

- Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos

generados por rotación o traslación de figuras planas. Resolución de problemas

que plantean diversas relaciones entre  cuerpos geométricos; por ejemplo, uno

inscrito en otro.

- Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. Planos en el espacio, determinación por tres

puntos no colineales. Planos paralelos, intersección de dos planos. Ángulos diedros, planos

perpendiculares, intersección de tres o más planos. Coordenadas cartesianas en el espacio.

-Contenidos relacionados:

-1º medio:

· Traslaciones, simetrías y rotaciones de figuras planas. Construcción de figuras

por traslación, por simetría y por rotación en 60, 90, 120 y 180 grados.

· Traslación y simetrías de figuras en sistemas de coordenadas.

-2º medio:

· Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia. Teorema que

relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo

inscrito.

-4º medio:

· Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. Planos en el espacio,

determinación por tres puntos no colineales. Planos paralelos, intersección de

dos planos. Ángulos diedros, planos perpendiculares, intersección de tres o más

planos. Coordenadas cartesianas en el espacio.

-Aprendizajes esperados:

· Conocen y utilizan la operatoria básica con vectores en el plano y en el espacio (adición,

sustracción y ponderación por un escalar), y la relacionan con traslaciones y homotecias de

figuras geométricas.

· Conocen y valoran la capacidad del modelo vectorial para representar fenómenos físicos

como desplazamientos y fuerzas.

· Resuelven problemas relativos al cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos generados por

rotación o traslación de figuras planas.

-Aprendizajes esperados de esta actividad:

· Utilizan la operatoria básica con vectores en el plano y en el espacio (adición, sustracción y

ponderación por un escalar), y la relacionan con traslaciones de figuras geométricas.

· Resuelven problemas relativos al cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos generados por

rotación o traslación de figuras planas.

-Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl:

- Ficha: “Área y Volumen”

- Diapositivas digitales (ppt): “Superficies de revolución”

- Juego: “¿Quién sabe más? – Área y volumen”

-Actividades propuestas para este tema:

En este documento encontrará dos actividades que pretenden poner en práctica los contenidos

abordados en la tercera unidad de NM4: Geometría. En estas actividades sus estudiantes

determinarán qué sucede al trasladar o rotar una figura geométrica en el espacio tridimensional.

Además, determinarán el área y el volumen de los cuerpos geométricos obtenidos.

- Actividad, “¿Qué obtenemos si trasladamos una figura plana?”: referida a

encontrar el cuerpo geométrico obtenido luego de trasladar una figura plana según un

vector tridimensional. Determinar áreas y volúmenes.

-Actividad, “Si rotamos una figura plana ¿Qué obtenemos?”: referida a encontrar el

cuerpo geométrico obtenido luego de rotar una figura plana en torno a uno de sus lados.

Determinar áreas y volúmenes.

A continuación encontrará los contenidos tratados en estas actividades y sugerencias sobre cómo desarrollarlas con sus estudiantes.

 

Actividad: ¿Qué obtenemos si trasladamos una figura plana?

 

2H 

 

1. Mapa de contenidos tratados.

 

mapa1

 

2. Desarrollo de la actividad.

Esta actividad requiere que sus alumnos, al menos, conozcan la operatoria básica con vectores en el plano y el espacio y que sean capaces de realizar una traslación en el plano cartesiano.

 

Se sugiere realizar la actividad en la sala de clases utilizando la guía del alumno.

 

Paso 1:

Para activar los conocimientos de sus alumnos, ya abordados en el desarrollo de la unidad, puede dar inicio a esta actividad realizando preguntas como:

· ¿Qué nos indica la punta de la flecha de un vector? ¿Qué nos indica su módulo?

Con esta pregunta se espera que sus alumnos recuerden cómo se compone un vector y qué

nos indican su dirección, sentido y módulo, pues de acuerdo a estas características podremos

determinar una traslación.

· ¿Qué requerimos para trasladarnos en el espacio?

Guíe a sus alumnos para que sus respuestas coincidan con las características principales de un

vector, de esta forma completará la idea inicial que se pretendía abordar, una traslación queda determinada por una figura y un vector de traslación.

· ¿Cuál es la diferencia principal entre un cuerpo geométrico y un polígono?

Si sus alumnos no pueden responder inmediatamente, realice comparaciones entre objetos

presentes en la sala de clases, como por ejemplo, una imagen o fotografía de una persona

versus una persona real; una hoja de papel versus un cuaderno. Debe cerciorarse de que sus

alumnos comprendan que a un cuerpo geométrico se le pueden asociar las medidas de área y

volumen, a diferencia de un polígono, el cuál por ser plano es una superficie sin volumen.

Si requiere ahondar en las definiciones de los conceptos que se pretenden activar en el inicio de esta clase, puede hacer uso de la ficha “Área y Volumen” que se encuentra disponible en el portal Educarchile (recursos asociados).

 

Paso 2:

Si desea armar equipos, se sugiere trabajo en parejas. El material permite trabajo individual.

Haga entrega de la guía para el estudiante “¿Qué obtenemos si trasladamos una figura plana?” disponible en el portal Educarchile.

A través de la observación y/o preguntas dirigidas asegúrese de que sus alumnos están

desarrollando debidamente la guía.

A continuación, se presenta la guía del alumno con las respuestas (o sugerencias de respuestas) en color azul.

 

 

Actividad: ¿Qué obtenemos si trasladamos una figura plana?

I. Creando un cuerpo por traslación.

¿Crees que es posible generar volumen mediante una traslación?

 

Sugerencia: Las respuestas de sus alumnos pueden ser variadas, por lo que es recomendable pedirles que las argumenten claramente, pueden dar ejemplos si así lo desean.

 

Dibuja en el espacio tridimensional el polígono de vértices A(0, 0, 2), B(2, 0, 0), C(0, 0, 0) y el vector

v(0, 6, 0).

 

Img1

 

Ahora, traslada el polígono ABC según el vector V.

Marca el “rastro” dejado por la traslación.

¿Qué características tiene la figura final al trazar los vectores y la figura trasladada?

 

Sugerencia: La figura final es un cuerpo geométrico. Este cuerpo posee volumen ya que ocupa un lugar en el espacio. Posee tres caras laterales rectangulares y dos caras basales triangulares.

¿Sabes qué nombre recibe esta figura? Si no lo sabes ¿a qué objeto que conoces se parece?

Este cuerpo geométrico es llamado prisma triangular recto.

Sugerencia: Los techos de algunas casas tienen esta forma.

¿Cómo podemos determinar el valor del área de esta figura?

Sugerencia: Permita a sus alumnos buscar distintas estrategias para calcular el área del prisma.

La “manera tradicional” se desarrollará a continuación en esta guía.

 

 

 

II. Separar para calcular.

¿De cuántas figuras planas está formado el prisma que construiste? de 5 figuras.  

Dibújalas por separado y determina el área de cada una.

 

imagen3 

 

Sugerencia: No olvides que:

 

 form1

 

Entonces, el área total del prisma que has construido es:

 

 form3 

III. Ahora el volumen.

El volumen de un prisma se obtiene multiplicando el área de la base por la altura de dicho prisma.

 

 Volumen Prisma:

penta 

Vp = Área base x altura

 

El volumen del prisma que tú construiste es:

Á base = 2u2 y h =6u

 

Entonces:

Vp = 2u2 x 6u

Vp = 12u3

 

IV. ¿Y esto dónde se aplica?

Una empresa desea fabricar carpas con las siguientes dimensiones: 1,20 m de alto; 1,80 m de ancho, pero no se han decidido por la profundidad de éstas.

 

Si la lona con la que cuentan para cubrir toda una carpa (tapas, base y techo) es 16,56 m2. ¿Cuál deberá ser la profundidad de cada carpa para aprovechar al máximo la lona?

 

 carpa

 

Las caras 1 y 2 poseen iguales medidas y corresponden a

las caras basales del prisma.

 

 carpa

 

Para obtener el valor de x haremos uso del teorema de

Pitágoras:

 

 

 carpa

 

 

Las caras 3 y 4 poseen iguales medidas.

Á(3 y 4) = 2 × (1,5m× ym) = 3y m2 , donde y metros es la medida de

la profundidad de la carpa.

 

El área de la cara 5, base de la carpa, es:

 

Á(5) = 1,80m× ym =1,80y m2.

 

Como el área total del prisma, área de la lona, es 16,56 m2, entonces:

 

16,56 m2 = 2,16 m2 + 3y m2 + 1,80y m2  à y = 3

 

Por lo tanto, para aprovechar al máximo la lona, la profundidad de cada

carpa debe ser 3m.

carpa2 

Paso 3:

Para concluir la actividad, se sugiere entablar una discusión sobre la pregunta de la guía “¿Qué obtenemos si trasladamos una figura plana?”. A partir de las respuestas de sus alumnos debe evidenciarse si han comprendido que dado un vector en el espacio y un polígono cualquiera, pueden construir un cuerpo geométrico y determinar el área y volumen de éste.

Anote las conclusiones en la pizarra para poder hacer una síntesis al final de la clase. Es en este momento cuándo debe hacer lo posible por detectar las posibles ideas erróneas de sus alumnos y corregirlas. Contraste estas respuestas con las dadas al inicio de la clase.

Conduzca la discusión de tal manera que la mayor cantidad de alumnos pueda opinar.

 

Actividad: Si rotamos una figura plana ¿Qué obtenemos?

Duración: 2 horas pedagógicas.

 

1. Mapa de contenidos tratados.

 

 

mapa 

2. Desarrollo de la actividad.

Esta actividad requiere que sus alumnos, al menos, tengan noción de los conceptos de triángulos rectángulos, rectángulos y circunferencias, junto con las fórmulas para calcular el área de ellas.

Se sugiere desarrollar la actividad en la sala de clases utilizando la guía del alumno.

 

Paso 1:

Para activar los conocimientos de sus alumnos, ya abordados en el desarrollo de la unidad, puede dar inicio a esta actividad realizando preguntas como:

· ¿Cuál es la diferencia principal entre un cuerpo geométrico y un polígono?

Si sus alumnos no pueden responder inmediatamente, realice comparaciones entre objetos

presentes en la sala de clases, como por ejemplo, una imagen o fotografía de una persona

versus una persona real; una hoja de papel versus un cuaderno. Debe cerciorarse de que sus

alumnos comprendan que a un cuerpo geométrico se le pueden asociar las medidas de área y

volumen, a diferencia de un polígono, el cuál por ser plano es una superficie sin volumen.

· Pregunte a sus alumnos si es posible obtener una esfera a partir de alguna figura

geométrica y la traslación de ésta de acuerdo a algún vector tridimensional.

Probablemente lo que imaginen sus alumnos se aproxime a un semicilindro. Sin embargo, la

respuesta a su pregunta será negativa. Con esta discusión de inicio a la clase.

Si requiere ahondar en las definiciones de los conceptos que se pretenden activar en el inicio de esta clase, puede hacer uso de la ficha “Área y Volumen” que se encuentra disponible en el portal Educarchile (recursos asociados).

 

Paso 2:

Si desea armar equipos, se sugiere trabajo en parejas. El material permite trabajo individual.

Haga entrega de la guía para el estudiante “Si rotamos una figura plana ¿Qué obtenemos?”

disponible en el portal Educarchile.

A través de la observación y/o preguntas dirigidas asegúrese que sus alumnos están desarrollando debidamente la guía.

A continuación, se presenta la guía del alumno con las respuestas (o sugerencias de respuestas) en color azul.

 

Actividad: Si rotamos una figura plana ¿Qué obtenemos?

 

I. Creando un cuerpo por rotación.

¿Crees que es posible generar volumen mediante una rotación?

 

Sugerencia: Las respuestas de sus alumnos pueden ser variadas, por lo que es recomendable pedirles que las argumenten claramente, pueden dar ejemplos si así lo desean.

Imagina qué resulta al girar las siguientes figuras respecto a uno de sus lados y siguiendo la flecha.

Haz un bosquejo en el recuadro correspondiente.

 

form4

 

En cada caso ¿Qué características tiene la figura final luego de la rotación?

En todos los casos, la figura inicial, luego de la rotación en torno a uno de sus lados, se ha

transformado en un cuerpo geométrico, con volumen.

¿Sabes qué nombre reciben estas figuras? Si no lo sabes ¿a qué objeto que conoces se parecen?

El primer cuerpo geométrico es un cono, como el de los helados o los embudos.

El segundo cuerpo geométrico es un cilindro,

¿Cómo podemos determinar el valor del área de estas figuras?

 

Sugerencia: Las respuestas de sus alumnos pueden ser variadas, por lo que es recomendable pedirles que las argumenten claramente, pueden dar ejemplos si así lo desean.

 

II. Estirar y calcular.

a) Iniciemos con el cono.

 

 

form5

 

h es la altura del cono (altura del triángulo que lo generó).

r es el radio basal del cono (base del triángulo que lo generó).

g es la generatriz del cono (hipotenusa del triángulo que lo generó).

 

El perímetro basal del cono es 2 p r ya que la base del cono es una circunferencia de radio r.

Al “estirar” este cuerpo geométrico se obtiene la siguiente figura.

 

form6 

Observa que hemos completado la semicircunferencia de radio g, donde:

 

form7 

Estableciendo una sencilla proporción tenemos que:

 

form8

 

Reemplazando: form9, donde X es el área del cono que desconocemos.

Despejando X tenemos que: X = p g r 

 

Por lo tanto, el área lateral del cono es:  Área cono = p g r

 

Si al cono se le agrega la base, basta sumar el área del círculo, de radio r.

 

Entonces, el área total del cono es:

 

Á total = p r g + p r  2

 

b) El área del cilindro.

 

cilindro

 

Donde h es la altura del cilindro (lado del rectángulo que genera el cilindro).

r es el radio del cilindro (base del rectángulo que genera el cilindro).

 

Al “estirar” este cuerpo geométrico se obtiene la siguiente figura. Dibújala.

 

 

dibujo

 

El área lateral del cilindro es:

El perímetro de la circunferencia que forma la base del cilindro es:  P(Ä) = 2 p r

 La medida de la base del rectángulo es igual al perímetro de la circunferencia.

El área del rectángulo equivale al área lateral del cilindro, por lo tanto:

  

Álateral _ cilindro = 2 p r × h

 

Si el cilindro tiene bases superior e inferior (las tapas) el área total del cilindro es:

 

 IMG11

 

Desafío: Haciendo un análisis similar al anterior, calcula el área de la esfera  generada

por rotación.

 

III. El volumen de estos cuerpos.

a) Volumen de un cono.

 

V cono = tercio área de la base x altura

 

IMG12

 

 

Para resolver:

Encuentra el volumen del cono generado por la revolución de un triángulo rectángulo isósceles

cuyo perímetro es de 2 cm.

 

IMG13

 

b) Volumen de un cilindro.

 

V cilindro IMG14

 

IMG15

 

Resolviendo:

 

El volumen de un cilindro de revolución es 2000 p cm3. Hallar el área total de este cilindro,

sabiendo que tiene 20 cm. de altura.

 

IMG16

 

c) Volumen de una esfera.

 

IMG17

 

IMG18

 

Aplicando la fórmula:

La diferencia entre los volúmenes de dos esferas concéntricas es 84 p cm3.
Si la menor tiene 1 cm. de radio, hallar el radio de la mayor.

 

IMG19 

 

Paso 3:

Para concluir la actividad, se sugiere entablar una discusión sobre la pregunta de la guía “Si

rotamos una figura plana ¿Qué obtenemos?”. A partir de las respuestas de sus alumnos debe

evidenciarse si han comprendido que dado un polígono cualquiera, al girarlo en torno a un lado de éste, pueden construir un cuerpo geométrico y determinar su área y volumen.

Anote las conclusiones en la pizarra para poder hacer una síntesis al final de la clase. Es en este momento cuándo debe hacer lo posible por detectar las posibles ideas erróneas de sus alumnos y corregirlas. Contraste estas respuestas con las dadas al inicio de la clase.

Conduzca la discusión de tal manera que la mayor cantidad de alumnos pueda opinar.

Como recurso anexo para esta unidad, puede asistir al laboratorio de computación y pedir a sus alumnos que jueguen el juego “Quién sabe más – Área y Volumen”. Destine al menos 10 minutos para analizar los resultados obtenidos en el juego y resuelvan en conjunto las preguntas que presentaron mayores dificultades.

Información

Técnica

Descripción BreveConoce el área y volumen de los cuerpos geométricos como: el cubo, el paralelepípedo recto rectangular y la esfera. El siguiente recurso entrega esta información y contiene dibujos informativos.
Temas relacionados

» Animación:
Un cilindro sobre un prisma

» Diapositivas digitales:
Geometría

» Juegos:
¿Quién sabe más? Área y Volumen

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
4° medioMatemáticaGeometría

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