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Ficha temática

Triángulos semejantes

El siguiente recurso te enseña la siguiente materia de matemáticas: Figuras semejantes y Teorema de Thales. Te invitamos a revisarlo atentamente.

Triángulos semejantes

1. Comparación.

Para comparar dos cantidades puedes hacer uso de la resta o bien, de la división entre sus valores.

1.1 Razón.

Las razones son una forma de comparación entre dos cantidades. Esta comparación consiste en dividir una cantidad por la otra. La división permite saber cuántas veces es mayor (o menor) una cantidad respecto de otra.

Por ejemplo: Para cocinar arroz se debe echar en una olla dos tazas de agua por cada taza de arroz. La cantidad de tazas de agua respecto de la cantidad de tazas de arroz están en la razón dos es a uno y se puede anotar de las siguientes formas.

Imagen que muestra la razón dos es a uno 

1.2 Proporción.

Jean D’Alembert fue un destacado matemático francés que vivió entre los años 1717 y 1783. A él se debe la frase:

“Tal como se comparan dos magnitudes resultando una razón. También se pueden comparar dos razones, de donde resulta una proporción”.

Esta frase nos indica que en determinados contextos se pueden encontrar razones equivalentes (igual cuociente). Esta igualdad se denomina proporción porque se compone de dos razones iguales.

Cada vez que sea posible establecer la equivalencia entre dos razones entonces es posible construir una proporción.

1.2.1. Propiedades de las proporciones

Propiedades de las proporciones

2. Figuras semejantes
A simple vista, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero su tamaño no es necesariamente igual.
Por ejemplo, los pentágonos de la figura son semejantes.

pentágonos semejantes

Propiedades de las figuras semejantes
(1) Sus ángulos homólogos son congruentes (tienen la misma medida).
(2) Sus lados homólogos son proporcionales.

2.1. Triángulos semejantes
Concepto de semejanza
Recuerda que dos triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño. Sin embargo, si dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes.

Esquema de triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales:
Ángulos correspondientes congruentes:

Ángulos correspondientes congruentes

Lados correspondientes proporcionales:

Lados correspondientes proporcionales

La razón de semejanza se denomina k.

Entonces,    ABC ~   DEF  (triángulo ABC semejante al triángulo DEF)

Observación:
Si k = 1, los triángulos serían congruentes.

2.2 Criterios de semejanza

Los criterios de semejanza constituyen las condiciones mínimas necesarias para establecer que dos triángulos son semejantes.

2.2.1. Criterio (L, L, L)
Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales.

Esquema de criterio lado lado lado

Imagen que muestra la proporción de dos triángulos  semejantes

Entonces,     ABC ~    DEF

2.2.2. Criterio (A, A, A)
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes.

Esquema de criterio ángulo ángulo ángulo

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes

                                   Entonces,     

Observación:
Como los ángulos del triángulo suman 180°, basta con determinar dos ángulos correspondientes congruentes para poder establecer la semejanza (criterio (A, A)).

2.2.3. Criterio (L, A, L)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes.

Esquema de criterio lado ángulo lado

 

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes.

                      

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Imagen de un triángulo de lados iguales