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Ficha temática

Razones y Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

A través del siguiente recurso educativo podrás estudiar y repasar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Supongamos que tenemos los triángulos rectángulos ABC y DEF de la figura, que a su vez tienen un angulo agudo a congruente.

Dibujo cinco: dos triángulos semejantes

Por el criterio A A los triángulos son semejantes, por lo tanto: 

a es a a prima, como ce es a ce prima, o bien, a es a ce, como a prima es a ce prima

Es decir, si se conoce uno de los ángulos agudos, la razón entre dos lados del triángulo rectángulo es constante.

Debido a que la razón entre los lados es constante y depende exclusivamente del ángulo a, se establecieron todas las razones posibles entre dos de los lados del triángulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y se definen de la siguiente forma:

IMAGEN

Dado el triángulo ABC, rectángulo en C de la figura, se definen las siguientes razones trigonométricas para el ángulo agudo a:

Tabla uno: razones trigonométricas importantes

1. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Observa que las razones trigonométricas cumplen con las siguientes propiedades:

i.- tangente de alfa es igual a: seno de alfa partido por coseno de alfa

ii.- cotangente de alfa es igual a: coseno de alfa partido por seno de alfa  = cotangente de alfa es igual a: uno partido por tangente de alfa

iii.-  secante de alfa es igual a: uno partido por coseno de alfa

iv.-   cosecante de alfa es igual a: uno partido por seno de alfa

v.-   coseno al cuadrado de alfa, más seno al cuadrado de alfa, es igual a: uno

vi.-   uno más tangente al cuadrado de alfa, es igual a: secante al cuadrado de alfa

 

Las propiedades vvi se llaman identidades pitagóricas y las demostraremos a continuación:

Demostración de v:

IMAGEN

En el DABC anterior, teníamos que: 

demostración de propiedad seis

Demostración de vi
demostración de propiedad siete

Fíjate que en ambas demostraciones planteamos que a2 + b2 = c2, motivo por el cual ambas identidades se denominan identidades pitagóricas.

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60°

Si consideramos un triángulo rectángulo isósceles de cateto “a”, entonces la hipotenusa mide a por raíz de dos (ver diagonal de un cuadrado)

Dibujo siete: triángulo rectángulo isósceles de cateto a

Si en este triángulo calculamos las razones trigonométricas, obtenemos: 

cálculo de razones trigonométricas para triángulo rectángulo isósceles de cateto a

Para calcular las razones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°, ocuparemos el triángulo equilátero de la figura:


Dibujo ocho: triángulo equilátero de lado a

En el triángulo rectángulo que se forma en esta figura, se cumple que: 

cálculo de razones trigonométricas para triángulo equilátero de lado a

Resumiendo, las razones trigonométricas sen, cos y tg para 30°, 45° y 60° son:


Tabla dos: razones trigonométricas para ángulos de treinta, cuarenta y cinco, y sesenta grados

3. APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CÁLCULO DE DISTANCIAS

Ejemplo:

Un poste vertical al suelo y de altura h está sujeto por una cuerda de longitud L con un ángulo de inclinación a ¿Cuál es la altura del poste?

Dibujo nueve: poste de altura hache

Solución: En el triángulo rectángulo de la figura se conoce la hipotenusa y se requiere calcular el cateto opuesto, por lo tanto ocupamos la razón trigonométrica sen a

seno de alfa es igual a: hache partido por ele, entonces hache es igual a: ele por seno de alfa

Esta expresión nos permite calcular la altura del poste, una vez conocidos a y L.

Ejemplo 2:

Una escalera de 6 m de largo se apoya en un muro vertical con un ángulo de inclinación a. ¿A qué distancia se ubica la base de la escalera con respecto al muro?


Dibujo diez: escalera apoyada en una pared

Solución: En el triángulo rectángulo de la figura conocemos a, la hipotenusa, y deseamos calcular el cateto adyacente a a. Utilizando la razón trigonométrica cos a, tenemos: 

coseno de alfa es igual a equis partido por seis, entonces equis es igual a: seis por el coseno de alfa

Por lo tanto, la distancia que hay entre la base de la escalera y el muro es 6 . cos a.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

 

1.   A partir de un triángulo ABC rectángulo en C cualquiera, de catetos a y b e hipotenusa c y ángulos agudos CAB =  y CBA = , se definen las “razones trigonométricas” como las comparaciones entre los lados del triángulo, haciendo referencia al ángulo agudo que forman los lados en cuestión. Estas razones son:

         a) seno del ángulalfa = sen alfa = imagen

         b) coseno del ángulo alfa = cos alfa = imagen

         c) tangente del ángulo alfa = tan alfa = imagen

2.    A partir de las relaciones previamente definidas, se pueden derivar las otras tres relaciones restantes, aprovechando la propiedad algebraica del recíproco o inverso multiplicativo.

         d) cotangente del ángulo alfa = cotan alfa = imagen

         e) secante del ángulo alfa = sec alfa = imagen

         f) cosecante del ángulo alfa = cosec alfa = imagen

 

3.      Análogamente, se definen las razones trigonométricas para el ángulo beta.

4.      Identidades importantes. Demostrar mediante el teorema de Pitágoras, que:

sen2alfa + cos2alfa = 1

Además, si dos ángulos alfa y beta son complementarios, entonces:

                                                i)   sen alfa = cos beta

                                                ii)  cos alfa = sen beta                                               

                                               iii) tan alfa = cotan beta 

5.     Demostrar que en triángulos semejantes, las razones trigonométricas para ángulos correspondientes son iguales.

6.     Determinar las razones trigonométricas para los ángulos de 60° y 30°. A partir de un triángulo equilátero de lado 1, trazar una de las alturas y encontrar las medidas de los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma. Luego, determinar las razones trigonométricas para 60° y 30°, aplicando las definiciones.

Para el ángulo de 60º.

          imagen                         

      

 

   7. Determinar las razones trigonométricas para el ángulo de 45°. A partir de un triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a 1, determinar la medida de la hipotenusa. Luego, determinar las razones trigonométricas para 45° aplicando las definiciones.

          imagen                 

 

8.      Plantear y desarrollar ejercicios de comprensión y aplicación.

Información

Técnica

Descripción BreveA través del siguiente recurso educativo podrás estudiar y repasar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
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>>Presentación: Razones trigonométricas

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
3° medioMatemáticaGeometría

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