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Ficha temática

Intervalos e inecuaciones lineales

Los intervalos son subconjuntos de los números reales. En el siguiente recurso educativo podrás estudiar los tipos de intervalo y las inecuaciones. Contiene ilustraciones.

Intervalos e inecuaciones lineales

Los intervalos son subconjuntos de los números reales. Existen los siguientes tipos de intervalos: 

Tabla de intervalos
Propiedades de las desigualdades: 

(1) Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b / ± c


a ± c < b ± c 



(2) Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica por un número positivo:


a < b / · c, c > 0


a · c < b ·

(3) Una desigualdad varía su sentido si se multiplica por un número negativo:


a < b / · c, c < 0


a · c > b · c 

1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO

A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

 
Ejemplo:


Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6


Primero sumemos –3x a ambos lados de la desigualdad (propiedad 1)


x – 3x – 2 < 3x - 3x -6 

-2x - 2 < -6

Ahora, sumamos 2 a ambos lados y la desigualdad se mantiene.

-2x -2 + 2 < -6 + 2

-2x < -4


Ahora multiplicamos por –1/2 a ambos lados, y la desigualdad cambia su sentido en virtud de la propiedad 3 

 
La solución de la inecuación en forma de intervalo es: IMAGEN

2. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES
Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación por separado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjunto de números que pertenezca a ambos intervalos:


Ejemplo:

Resolver el sistema de inecuaciones: 

Ejemplo de sistema de inecuaciones

Solución: La primera inecuación la multiplicamos por 3: (propiedad 2) y la segunda la multiplicamos por -2 (propiedad 3).


 IMAGEN

 

Por lo tanto las soluciones son: x > 5 y x < 9. Gráficamente tenemos entonces la siguiente situación: 

Solución gráfica al sistema de inecuación anterior 

Por lo tanto los números reales que cumplen ambas condiciones corresponden a todos los números reales comprendidos entre 5 y 9. Si traducimos lo anterior a notación de intervalos, la solución corresponde al intervalo ] 5 , 9 [.

 

INTERVALOS E INECIACIONES LINEALES

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Intervalos e inecuaciones lineales

 

1.      Definir el concepto de “intervalo”. Intervalo en es un subconjunto de ℝ.

a) Intervalo abierto ]a, b[. Es el conjunto definido por la condición:  {x Î ℝ / a < x < b}. Es decir, se trata del conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b, sin incluirlos. Gráficamente, este intervalo se representa como en la figura 1.

imagen 

 

b) Intervalo cerrado [a, b]. Es el conjunto definido por la condición:  {x Î ℝ / a ≤ x ≤ b}. Es decir, se trata del conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b, incluidos. Gráficamente, este intervalo se representa como en la figura 2.

imagen 

 

c) Intervalo semi-abierto por la izquierda ]a, b]. Es el conjunto definido por la condición:  {x Î ℝ / a < x ≤ b}. Es decir, se trata del conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b, sin incluir a e incluido b. Gráficamente, este intervalo se representa como en la figura 3.

 imagen

 

 d) Intervalo semi-abierto por la derecha [a, b[. Es el conjunto definido por la condición:  {x Î ℝ / a ≤ x < b}. Es decir, se trata del conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b, incluido a y sin incluir b. Gráficamente, este intervalo se rerpresenta como en la figura 4.

 

imagen

 

a

b

e) Intervalos no acotados. Son aquellos que no tienen límite en uno de sus extremos:

                  i) No acotado por la izquierda ]-∞, b] o ]-∞, b[. Es el conjunto definido por las condiciones:  {x Î ℝ / x ≤ b} o {x Î ℝ / x < b}, respectivamente (figura 5).

imagen 

                 

                  ii) No acotado por la derecha [a, ∞[ o ]a, ∞[. Es el conjunto definido por las condiciones:  {x Î ℝ / a ≤ x} o {x Î ℝ / a < x}, respectivamente (figura 6).

imagen 

 2.      Orden en ℝ.

Definir el concepto de desigualdad en ℝ. Una desigualdad es una relación de orden que se cumple para todos los valores posibles de las variables. Por ejemplo, a2 ≥ 0, para todo a Î ℝ.

Definir el concepto de “inecuación”. Es una desigualdad condicionada que se cumple sólo para algunos valores de la variable. Por ejemplo, x + 2 > 4. En este caso, los valores de x que satisfacen la desigualdad son sólo aquellos mayores que 2, lo que se escribe “x Î ]2, ∞[“.

3.      Definir los principales axiomas y teoremas de orden en ℝ.

         Axioma 1 - Axioma de tricotomía. Si a, b, c Î , entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

a > b     ;      a = b      ;      b > a

Axioma 2 - Axioma de transitividad. Si a, b, c Î son tales que a > b   y   b > c, entonces a > c.

Axioma 3 - Axioma de adición. Si a, b, c Î son tales que a > b, entonces a + c > b + c

Axioma 4 - Axioma de Multiplicación. Si a, b, c Î son tales que a > b  y  c > 0, entonces ac > bc

Teorema 1. Si a, b Î , entonces

i)    a > b si y sólo si -a < -b

ii)   a < b si y sólo si -a > -b

Teorema 2. 1 > 0

Teorema 3. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc

         Teorema 4. Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d

         Teorema 5. Si a, b, c y d son números positivos, a > b y c > d, entonces, ac > bd.

4.      Resolución de inecuaciones. El método para resolver inecuaciones consiste en aplicar los teoremas y axiomas de orden, de manera similar al despeje de una ecuación. Ejemplo 1.        2 + 3x < 7x + 14

Solución.     imagen             imagen 

 Solución.            Para resolver la inecuación, debemos multiplicarla por x. Como no sabemos a priori el valor de x, tenemos dos consideraciones:

         i)  Si x > 0, se multiplica la desigualdad por x y el sentido de la desigualdad se mantiene

                                imagen

              

               Luego, la solución en este caso es el intervalo ]0, 4[

         ii) Si x < 0, se multiplica la desigualdad por x y el sentido de la desigualdad se invierte (teorema 3)

imagen    

 

Luego, la solución en este caso es vacía ( Æ ), pues no existe ningún x real que sea menor que 0 y mayor que 4 simultáneamente.

         Finalmente, la solución del problema se obtiene uniendo las dos soluciones parciales.

Sol. final = ]0, 4[ È Æ = ]0, 4[

Gráficamente, la solución es

                imagen 

 

5.      Plantear ejercicios de aplicación de inecuaciones.

Información

Técnica

Descripción BreveLos intervalos son subconjuntos de los números reales. En el siguiente recurso educativo podrás estudiar los tipos de intervalo y las inecuaciones. Contiene ilustraciones.
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>>Sitio: Inecuaciones lineales con una incógnita

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
4° medioMatemáticaFunciones potencia, logarítmica y exponencial

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