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Ficha temática

Función cuadrática

El siguiente recurso educativo está dedicado a la función cuadrática, te invitamos a revisarlo y a repasar esta materia de matemáticas con él.

Función cuadrática

Una función cuadrática es de la forma: f(x)= ax2+bx+c y su gráfica es una parábola.

Una de las aplicaciones de la función cuadrática, es la altura h(t) que alcanza un objeto después de transcurridos t segundos, cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial v0

Fórmula para determinar la altura de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba.

Si suponemos que la velocidad inicial es 10 m/s y que la aceleración es 10 m/s2, entonces la altura es: h(t) = 10t – 5t2.

Si graficamos esta función dándonos algunos valores para t, obtenemos: 


 

Tabla dos 

Gráfico uno

La intersección con el eje de las abscisas (eje horizontal) se obtiene reemplazando h(t) = 0 en la función:

h(t) = 10t – 5t2

0 = 10t – 5t2
0 = 5t(2 - t)
t1 = 0  ó  t2 = 2

Interpretando físicamente lo anterior, podemos afirmar que a los 0 y 2 segundos la altura del objeto es cero, es decir, está en el suelo.

Por otro lado, se puede observar en el gráfico en t= 1 segundo se encuentra la máxima altura, y si reemplazamos h = 1 en la función, obtenemos h(1)= 10 • 1 – 5 • 12 = 5 m

Este punto donde se alcanza el valor máximo de la función se denomina vértice de la parábola.

Analicemos a continuación en forma general, las características del gráfico de una función cuadrática.

1. ELEMENTOS PRINCIPALES DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Sea la función cuadrática: f(x)= ax2+bx+c. Sus elementos y características principales son:

Concavidad

Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba: 


 

Gráfico dos, parábola abierta hacia arriba

Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo: 

Gráfico tres, parábola abierta hacia abajo

Intersección con el eje Y:

Sea la función cuadrática: f(x)= ax2+bx+c, cuando la parábola intercepta al eje Y , x = 0 y si reemplazamos este valor en la ecuación, obtenemos:

y = a • 02 + b • 0 + c

y = c

Por lo tanto la intersección entre la parábola y el eje Y es el punto (0,c


Gráfico cuatro

Intersección con el eje x

Cuando la gráfica intercepte el eje x, el valor de y debe ser 0. Reemplazando en la ecuación, obtenemos:

0= ax2+bx+c

Por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado, como las soluciones dependen del signo del discriminante, entonces tenemos que:

- Si D  < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x.

- Si D  = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x.

- Si D  > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos puntos al eje x.

Si graficamos lo visto hasta ahora, tenemos las siguientes posibilidades: 


Tabla tres

Vértice : El vértice de la parábola de ecuación: y = ax2+bx+c es el punto de coordenadas:

 IMAGEN

Si a > 0, en la ordenada del vértice se encuentra el mínimo de la función: 


Gráfico cinco

Si a < 0, en la ordenada del vértice se encuentra el máximo de la función: 

Gráfico seis

Para que practiques con la gráfica de la función cuadrática, te recomendamos el graficador que está en el sitio:

Gráfica de la función cuadrática 

2. TRASLACIÓN DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La gráfica de la función cuadrática: y = x2 (a = 1, b = 0 y c = 0) es: 


 

Gráfico siete, función cuadrática

Observemos a continuación, cómo es afectada la gráfica cuando sumamos o restamos una constante a la variable independiente (x) o a la variable dependiente (y).

i. Gráfico de y = x2 + 1 : El gráfico de esta función se traslada una unidad hacia arriba


 

Gráfico uno



ii. Gráfico de y = x2 – 1 : El gráfico de la parábola se traslada una unidad hacia abajo

Gráfico dos

 

iii. Gráfico de y = (x – 1) 2: El gráfico de la parábola se traslada una unidad hacia la derecha.  


Gráfico tres

iv. Gráfico de y = (x + 1) 2 : El gráfico de la parábola se traslada una unidad hacia la izquierda.


 

Gráfico cuatro

Ejemplo:

Graficar la función: y = (x – 1) 2+2

Solución:

Según lo visto anteriormente, el gráfico corresponde a una traslación de la gráfica de la parábola  y = x2, un lugar a la derecha y dos unidades hacia arriba. 


 

Gráfico función anterior

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

El gráfico de la función Y igual a raíz cuadrada de equis es:

 

Gráfico función raíz cuadrada

A esta gráfica le podemos aplicar las traslaciones horizontales, tal como lo hicimos con la función: y = x2

Por ejemplo, el gráfico de Y igual a raíz cuadrada de equis menos uno correspondería al de Y igual a raíz cuadrada de equis trasladado una unidad a la derecha: 


 

Gráfico función raíz cuadrada de equis menos uno

FUNCIÓN CUADRÁTICA

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Función cuadrática

 

1.      Definir la función cuadrática f(x) = Ax2 + Bx + C, con A, B y C Î y A ≠ 0. Esbozar,

 mediante un ejemplo sencillo, la gráfica correspondiente a la función y destacar

 los elementos notables. Definir esta representación gráfica como una parábola en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, graficar la función  y = x² - x - 6.

 

 

 

imagen

 

 

 

 

 

 

2.      A partir de la parábola esbozada en el punto anterior, definir los elementos principales del gráfico y establecer, mediante análisis, una relación entre tales elementos y los parámetros de la función cuadrática.

         a) Concavidad.

               Si A > 0, la concavidad está orientada hacia arriba.        imagen

               Si A < 0, la concavidad está orientada hacia abajo.         imagen

 

         b) Intersección con el eje de las ordenadas (Y). Para encontrar el punto donde la parábola interseca al eje Y, se evalúa la función cuadrática en x = 0

imagen

fórmula

 

               de donde se obtiene el valor y = C.

         c)   Intersección con el eje de las abscisas (X). Corresponde a las raíces o “ceros” de la función”. Para determinar tales puntos, se evalúa la función en y = 0 obteniéndose una ecuación de segundo grado. Las soluciones de tal ecuación corresponden a los puntos donde la parábola corta al eje X.

                                                                                                                  imagen

               En este mismo punto, dado que las raíces de la ecuación dependen de su discriminante, se tienen tres situaciones respecto de la intersección con el eje X. Como el discriminante (imagen) puede ser positivo, cero o negativo, entonces:

               i)       SiTriángulo > 0, las raíces son dos reales distintos, por lo que la parábola corta en 2 puntos al eje X.   imagen

 

               ii)      SiTriángulo = 0, las raíces son dos reales iguales, por lo que la parábola corta en un solo punto al eje X.imagen

 

               iii)     Si Triángulo < 0, las raíces son complejas conjugadas, por lo que la parábola no corta al eje X. imagen

 

         d)   Eje de simetría. La parábola presenta simetría axial respecto de una recta vertical que la divide en dos ramas congruentes. Esta recta o eje de simetría cruza perpendicularmente al eje X exactamente por el punto medio entre las raíces de la función. Por lo tanto, se puede encontrar el valor de este punto mediante la expresión imagen que corresponde a la semisuma de las

 raíces de la ecuación cuadrática. Pero, recordando las propiedades de las raíces, imagen, entonces, el eje de simetría cruza al eje X en el punto

imagen

 

               que equivale a la ecuación del eje de simetría.

         e)   Vértice de la parábola. Corresponde al punto de intersección de la parábola con su eje de simetría. Este punto tiene coordenadas (xv, yv), donde imagen. Para determinar el valor de yv, como el vértice es un punto de la parábola, calculamos f(xv).

                                                                     imagen      

    

 

  

               Por lo tanto, las coordenadas del vértice de la parábola son  imagen          y gráficamente es:imagen

 

 

 

3.            A partir del análisis del número anterior, determinar el dominio y el recorrido de la función cuadrática y la incidencia de los signos de los coeficientes A y B en el desplazamiento horizontal del eje de simetría.

4.            Plantear y desarrollar problemas de aplicación y análisis de la función cuadrática. Por ejemplo, esbozar el gráfico a partir de puntos notables, como el vértice, el eje de simetría o las raíces, dadas las ecuaciones de una recta y una parábola, esbozar su situación en el plano, determinar la ecuación que representa un determinado corrimiento respecto del eje de las ordenadas, etc.

Información

Técnica

Descripción BreveEl siguiente recurso educativo está dedicado a la función cuadrática, te invitamos a revisarlo y a repasar esta materia de matemáticas con él.
Temas relacionados

>>Software: Función cuadrado

>>Sitio: La función cuadrática

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IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
3° medioMatemáticaÁlgebra

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