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Ficha temática

Ecuación cuadrática

El siguiente recurso te enseña, a través de claros ejemplos, cómo resolver una ecuación cuadrática. Te invitamos a leerlo atentamente.

Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es de la forma: ax2+bx+c=0, donde a, b y c son constantes reales y a ¹ 0. Para resolverla existen diferentes métodos, los cuales revisaremos a través de algunos ejemplos.

1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

i.- Por factorización:

Resolver la ecuación: x2 - 12x - 28 = 0

Factorizamos el trinomio recordando el producto de binomios con un término común, es decir, buscando dos números cuyo producto sea –28 y cuya suma sea –12; estos números son -14 y 2, y la factorización es:

(x - 14)(x + 2) = 0

Por lo tanto, las soluciones son X1 = 14 y X2 = -2

ii.- Utilizando la fórmula de resolución: 

Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0, podemos utilizar la fórmula:

Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

x2 – 10x +24 = 0

Solución: Primero identificamos los coeficientes a, b y c y luego los reemplazamos en la fórmula:

 a = 1; b = -10 y c = 24 



 

iii.- Por completación de cuadrados

Ejemplo:

Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0

Solución: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) 2 , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, despejaremos los términos que contienen  x  y sumaremos 9 a ambos lados de la igualdad para formar el cuadrado de binomio:

x2 – 6x + 8 = 0   /-8
x2 – 6x = -8       /+9
x2 - 6x + 9 = -8 + 9
(x – 3) 2 = 1

De la última igualdad se deduce que x –3 = 1 ó x – 3 = -1, por lo tanto  X1 = 4 ó X2 = 2

2. PLANTEO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS

En el primer módulo vimos algunas resoluciones de problemas utilizando ecuaciones de primer grado. Ahora veremos algunos problemas cuyos planteamientos conducen a ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1:

Determinar un número entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente al cuadrado del número aumentado en 5.

Solución: 

Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2 = x2 + 5

Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática:

3x2 – 4x – 4 = 0

Ahora utilizamos la fórmula, con a = 3 , b = -4 y c = -4 

Luego, las soluciones de la ecuación son X1 =       y X2 = 2. Pero el número que estamos buscando debe ser entero, por lo tanto, la solución es x = 2.

Ejemplo 2:

Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. ¿Cuánto mide la altura?

Solución: Sea x la base del triángulo y x + 2 su altura, entonces su área es:

Ecuación que representa al área A =24 cm2

A partir de esta igualdad formamos la ecuación de segundo grado.

Ahora resolvemos esta ecuación por factorización.

(x + 8) (x - 6)=0

Finalmente, como x es la base del triángulo, su valor debe ser positivo, es decir, la solución que nos sirve es x2 = 6 y comó la pregunta del problema es la altura del triángulo, entonces la respuesta es

x + 2= 8cm 

Para practicar con problemas de planteo relacionados con ecuaciones cuadráticas, te recomendamos revisar los sitios:

http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas-solucionador.html

3. NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Hemos visto que las soluciones de la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 , se pueden obtener a través de la fórmula: 

Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

La cantidad subradical: D = b2–4ac se llama discriminante, y nos permite determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática:

- Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales;

- Si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales.

- Si D es positivo, las soluciones serían dos números reales y distintos. 


Tabla uno

Ejemplo:

¿Cuánto debe valer p para que las soluciones de la ecuación:
x2 – (p+3)x + 9 = 0 sean reales e iguales?

Solución: Como las soluciones deben ser reales e iguales el discriminante debe ser igual a cero, entonces identificamos los coeficientes a, b y c y los reemplazamos en la fórmula de D:

a = 1 ; b = -(p + 3) ; c = 9
(-(p + 3)) 2 – 4 .• 1 .• 9 = 0
   p2 + 6p – 27 = 0

(p+9) (p-3)=0

P1 = -9 ó P2 = 3

4. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Sean x1 y x2 las soluciones de la ecuación: ax2+bx+c=0. SiEcuaciones equis uno y equis dos., entonces:

- Suma de las raíces:  Suma de ecuaciones equis uno y equis dos.

- Producto de las raíces:

IMAGEN 

Es decir, a través de los coeficientes de la ecuación podemos obtener la suma y el producto de las raíces sin tener que resolverla.


Soluciones a suma y productos de equis uno y equis dos.

ECUACIÓN CUADRÁTICA

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Ecuación cuadrática

 

1.      Definir la ecuación de segundo grado completa general.

psu

         Con A Î - {0} coeficiente cuadrático, B Î coeficiente lineal y C Î coeficiente independiente.

2.      Deducir la fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado mediante la “completación” del cuadrado de binomio

imagen

         De la expresión final, concluimos que la ecuación de segundo grado posee dos soluciones o “raíces”.

3.      Explicar, mediante ejemplos, la resolución de una ecuación de segundo grado utilizando el método de la factorización de un trinomio cuadrático como un producto de binmomios con término común.

psu

 

 

4.      Determinar las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática. Dada la ecuación cuadrática imagen, de raíces imagen  y  imagen, determinar

 

 algebraicamente la suma x1 + x2  y  el producto x1 x2.

       

5.      Plantear la ecuación de segundo grado dadas sus raíces. Con las propiedades deducidas en el número anterior, si le asignamos a A el valor 1, tenemos las expresiones

imagen       

          Entonces, podemos construir la ecuación como

imagen

6.      Determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación de segundo grado mediante el análisis de la cantidad subradical en la fórmula general de resolución. Definir el “discriminante” de la ecuación de segundo grado como

imagen

         Si triángulo > 0, entonces las raíces de la ecuación son dos números reales distintos.

         Si triángulo = 0, entonces las raíces de la ecuación son dos números reales iguales.

         Si triángulo < 0, entonces las raíces de la ecuación son dos números complejos conjugados.

7.      Plantear y desarrollar ejercicios de resolución de ecuaciones de segundo grado de distinto tipo. Con los resultados obtenidos, realizar el camino inverso, es decir, con las raíces determinadas, plantear la ecuación. Desarrollar ejercicios de planteamiento y resolución mediante la aplicación de las propiedades de las raíces de la ecuación cuadrática.

Información

Técnica

Descripción BreveEl siguiente recurso te enseña, a través de claros ejemplos, cómo resolver una ecuación cuadrática. Te invitamos a leerlo atentamente.
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IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
3° medioMatemáticaÁlgebra

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