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Ficha temática

Raíces cuadradas y cúbicas

Te invitamos a estudiar las raíces con el siguiente recurso educativo que servirá de gran apoyo. Aprenderás las propiedades de las raíces y la operatoria, entre otras cosas.

Raíces cuadradas y cúbicas

Comencemos el estudio de las raíces haciéndonos la siguiente pregunta. Si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su lado?

Para responder esto debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea 15. Este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729.

Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que: raíz cuadrada de a es igual a be, entonces be al cuadrado es igual a  a

Si a es un número positivo entonces b es positivo; por lo tanto raíz de nueve es igual a tres y no ±3 como erróneamente se cree. Por otro lado la igualdad: raíz de equis cuadrado es igual a equisse cumple solo si x>0, ya que si tenemos raíz de menos tres al cuadrado esto no es igual a –3 ya que sería contradictorio con lo anterior; por lo tanto, la propiedad es: raíz de equis cuadrado es igual al valor absoluto de equis ,para cualquier valor real de x.

Si a es un número negativo, entonces raía de a  no es un número real.

Si la raíz es cúbica, tenemos que: raíz cúbica de a es igual a be, entonces be al cubo es igual a a

En este caso, si a es negativo b resulta ser negativo y si a es positivo, b también; por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real.

En general, las raíces se pueden definir mediante una potencia de exponente fraccionario:

Definición: 

raíz enesima de a eleveado a eme es igual a a elevado a eme partido por ene

Donde n se denomina el índice de la raíz, y como vimos anteriormente, cuando no aparece se entiende que su valor es dos (raíz cuadrada).

Esta definición está sujeta a las restricciones que vimos en el párrafo anterior, es decir, las raíces de índice par están definidas para números no negativos y las de índice impar están definidas para todo número real.

Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias que estudiamos en el módulo anterior; de estas se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces.

1. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

i. Multiplicación de raíces de igual índice 

multiplicación de raíces

ii. División de raíces de igual índice 

división de raíces

iii. Raíz de raíz 

Raíz de una raíz

iv. Raíz de una potencia de exponente igual al índice 

Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice

v. Ingreso de un factor en una raíz 

Ingreso de un factor dentro de una raíz: con a > 0 si n es par

 Veamos a continuación la demostración de algunas de las propiedades para que veas su analogía con las propiedades de las potencias.

Demostración de (i):

 Demostración de propiedad uno

Demostración de (v):

 Demostración de propiedad cinco

2. OPERATORIA CON RAÍCES

Adición y sustracción de raíces semejantes

Se llaman raíces semejantes cuando tienen la misma cantidad subradical; por ejemplo dos por raíz de cinco y menos siete por raíz de cinco son raíces semejantes y se pueden sumar y/o restar:

 dos por raíz de cinco menos siete por raíz de cinco es igual a menos cinco por raíz de cinco

En el caso de querer sumar o restar raíces no semejantes, se debe descomponer las cantidades subradicales para convertirlas a raíces semejantes.

Ejemplo: Reducir la expresión  Ejemplo de resta y suma de raíces

Solución: Se descomponen las cantidades subradicales para formar raíces semejantes.

 Ejemplo de resta y suma de raíces, desarrollo

Multiplicación y división de raíces de igual índice

En este caso aplicamos las propiedades 1 y 2 de las raíces.

Ejemplo:

 Ejemplo de multiplicación de raíces?

Solución:  Ejemplo de multiplicación de raíces, desarrollo

Multiplicación y división de raíces de distinto índice

En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar índices.

Ejemplo: ¿Cuál es el valor deEjemplo de división de raíces de distinto índice=?

Solución: El m.c.m. de los índices es seis, entonces amplificamos para igualar los índices a seis:

 

 Otra forma de resolver esta expresión es aplicar sólo las propiedades de potencias.

 

3. RACIONALIZACIÓN

La racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.

Analizaremos a continuación los casos más importantes:

Caso 1: Una raíz cuadrada en el denominador, sin adiciones ni sustracciones.

Ejemplo: Racionalizar: Ejemplo uno de racionalización: cuatro partido por raíz de dos

 

Caso 2: Una raíz cuadrada en el denominador, con adiciones o sustracciones.

Ejemplo: Racionalizar la fracción Una raíz cuadrada en el denominador, con una sustracción.  

Solución: Amplificamos la fracción por el binomio conjugado del denominador para formar una suma por diferencia:

IMAGEN 

Una de las aplicaciones de la racionalización es que nos permite ordenar fracciones que tengan raíces en el denominador.

Ejemplo:  Dados los números Ejemplos de fracciones con raíces: equis, y, zeta¿Cuál es el orden de menor a mayor?

Solución: Racionalizamos cada una de las fracciones y comparamos los resultados.

 

 IMAGEN

 

Comparando los resultados se concluye que: y < x < z

                     

RAÍCES CUADRADAS Y CÚBICAS

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Raíces cuadradas y cúbicas

 

1.      Definir el concepto de radicación como la “operación” inversa de la potenciación.

         Por ejemplo,

imagen

         Distinguir los símbolos que se utilizan en la notación de raíz: índice (n), radical (imagen), cantidad subradical (a) y raíz (b). En la notación de la definición, poner énfasis en que a es una potencia y b es una raíz. Además, si n = 2, el índice de la raíz no se escribe.

2.      Definir la función raíz. Se define y = f(x) = imagen, n Î , como la función inversa de la función potencia. Explicar con ejemplos la relación entre la función potencia y la función raíz, enfatizando el dominio y el recorrido cuando el índice y el exponente son números pares o números impares. Utilizar exponentes e índices 2 y 3 y esbozar los gráficos. De este análisis se concluye que, si el índice es par, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero, de lo contrario las raíces no son números reales, en cambio, si el índice es impar, la cantidad subradical puede ser cualquier número real. Simbólicamente escribimos

imagen

 

3.      Definir y ejemplificar imagen.

4.      Definición importante. Una raíz se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario.

i) imagen

ii) imagen

         Esta definición permite trabajar algebraicamente las raíces como potencia y, por lo tanto utilizamos todas las propiedades definidas para las potencias.

5.      Definir y demostrar y ejemplificar las propiedades de las raíces usando la definición vista en el número anterior.

          imagen

          Poner mucho énfasis en que la raíz de una suma NO ES EQUIVALENTE a la suma de las raíces.

imagen

6.      Ejemplificar algunas operaciones importantes.

          imagen

      

7.      Definir “radicales” como raíces irracionales. Por ejemplo, imagen, etc. Algunas raíces irracionales se pueden expresar como radicales descomponiendo la cantidad subradical con un factor que sea una raíz exacta, por ejemplo,

imagen

o también,

imagen

Las expresiones algebraicas con “radicales semejantes” se pueden reducir. Por ejemplo,

imagen

8.      Definir la racionalización de expresiones algebraicas. Consiste en expresar una fracción que contiene radicales en el denominador como una fracción que tiene radicales sólo en el numerador. Los casos más simples son la racionalización de raíces cuadradas con denominador monomio y con denominador binomio.

a)      Si el denominador es un monomio que contiene una radical, para racionalizarla se amplifica la fracción por el radical.

 imagen

 

 

b)      Si el denominador es un binomio con un radical en uno de sus términos o en ambos, se amplifica la fracción por el binomio conjugado (el mismo binomio pero con el signo contrario).

I) imagen

  

9.      Plantear y desarrollar ejercicios de aplicación de raíces.

 

 

 

Información

Técnica

Descripción BreveTe invitamos a estudiar las raíces con el siguiente recurso educativo que servirá de gran apoyo. Aprenderás las propiedades de las raíces y la operatoria, entre otras cosas.
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>>Ficha Temática: Raíces

>>Sitio: Raíces cuadradas

>>Recurso interactivo: Potencias y raíces

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
2° medioMatemáticaÁlgebra

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