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Ficha temática

Triángulos semejantes

Cuando dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes. En el siguiente recurso podrás repasar la materia relacionada con los triángulos semejantes.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

1. Concepto de semejanza

Dos triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño. Cuando dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes.

Esquema de triángulos semejantes

Cuando dos triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. Es decir:

Donde k es la razón de semejanza.

Observación: Si k = 1, entonces los triángulos son congruentes.

Al igual que en la congruencia, aquí se presentan los denominados criterios de semejanza, que constituyen las condiciones mínimas necesarias para establecer que dos triángulos son semejantes.

2. Criterios de semejanza

Criterio lado_lado_lado ( L, L, L)

Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales.

Esquema de criterio lado lado lado

Criterio ángulo-ángulo-ángulo (A, A, A)

Dos triángulos son semejantes si dos ángulos interiores correspondientes son congruentes.

Esquema de criterio ángulo ángulo ángulo

Criterio lado-ángulo-lado (L, A, L)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes.

Esquema de criterio lado ángulo lado

3. Teorema de la semejanza

Si dos triángulos son semejantes, con razón de semejanza k, entonces sus perímetros están en la razón k y sus áreas están en la razón k2

Esquema de teorema de semejanzas

En la figura: Si ABC con razón de semejanza k, entonces se cumple que:

ABD

4. Teorema de Thales

Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales o secantes, los segmentos determinados en una de las secantes son proporcionales a los segmentos determinados en la otra secante. 

Esquema de teorema de Thales

 

En la figura, si  AD, entonces AB : BC = DE : EF,  o bien  AB : AC = DE : DF, o cualquier otra permutación de estas proporciones. Además el recíproco de este teorema también es válido, es decir, si los segmentos determinados en las secantes son proporcionales, entonces las rectas son paralelas.

Ejemplo:

En la figura anterior, si se cumple que: AB : BC = 5 : 4  y  DF = 27 cm, entonces

¿cuánto mide EF?

Solución: Como AB : BC = 5 : 4, entonces AC : BC = 9 : 4, pero  AC : BC = DF : EF, por lo tanto  9 : 4= 27 : x , con lo que se obtiene x = 12.

5. División interior de un trazo

Un trazo abqueda dividido interiormente por un punto P (perteneciente al trazo ab) en una razón dada m : n, si se cumple la proporción ap.

apb

Ejemplo: Un trazo ABde 40 cm de longitud es dividido interiormente por un punto P en razón de 5 : 3. ¿A cuántos centímetros del extremo B se sitúa el punto P?

Solución. En este ejemplo, AB = 40 cm, m : n = 5 : 3, PB = x y k = constante de proporcionalidad. Entonces,

APB

6. Sección Áurea

Dado un trazo Ay un punto P entre A y B tal que A, entonces ABqueda dividido en sección áurea por el punto P si AP, es decir, APes media proporcional geométrica entre A.

Ejemplo:  Si un trazo Amide 1 m  y el punto P interior lo divide en sección áurea, entonces ¿cuánto mide A?

Solución. Como  AB = 1 m,  AP = x, PA, entonces

A

7. División exterior de un trazo

Dados un trazo Ay un punto Q situado sobre la prolongación de A, entonces Q divide exteriormente a Aen una razón dada m : n si  Q (m > n).

A

Ejemplo: Un trazo Bde 40 cm de longitud es dividido exteriormente por un punto Q en razón de 5 : 3. ¿A qué distancia de B se sitúa el punto Q?

Solución. En este ejemplo, AB = 40 cm, m : n = 5 : 3, BQ = x y k = constante de proporcionalidad. Entonces

A

8. División armónica de un trazo

Un trazo Aqueda dividido armónicamente cuando está dividido interior y exteriormente en una misma razón dada. Es decir, el trazo Ade la figura está dividido armónicamente en razón de m : n si  AP : PB = m : n = AQ : BQ.

A

9. Segmentos proporcionales en el círculo

Si dos cuerdas se intersectan en el interior de un círculo, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda. 

Teorema de las cuerdas

Si dos cuerdas se intersectan en el interior de un círculo, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda. 

Esquema teorema de las cuerdas

En esta figura, NP • PQ = PS • PR

Teorema de las secantes

Si desde un punto exterior a un círculo se trazan dos rectas secantes, entonces el producto entre el segmento exterior con el segmento total determinados en una de las secantes será igual al producto de los segmentos correspondientes en la otra secante.

Esquema teorema de las secantes

En esta figura, PS • PM = PQ • PR

Teorema de la secante y la tangente

Si desde un punto exterior a un círculo se traza una recta secante y una tangente, entonces el producto entre el segmento exterior de la secante con el segmento total será igual al cuadrado del segmento tangente.

Esquema teorema de la secante y la tangente

En esta figura, PT2 = PQ • PR

Ejemplo:

Según la información dada en la figura, ¿cuánto mide RS?

Ejercicio usando teorema de las cuerdas

Solución: Por el teorema de las cuerdas, tenemos que:

4(x+4) = 3(2x+2)
4x+16 = 6x + 6
2x = 10
x = 5

Pero como RS = x+8 , reemplazando el valor de x obtenemos RS = 13

Sitios sugeridos

Para el estudio de las propiedades angulares de la circunferencia:
http://www.dmae.upct.es/~pepemar/home.htm
http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/circunf/anguloscircun.htm
http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/circunf/inscrito.htm (incluye Applets)

Sitio recomendado para el estudio del concepto de semejanza:
http://descartes.cnice.mecd.es/4a_eso/Semejanza/figuras_semejantes.htm

Para profundizar más o ejercitar acerca de los criterios de semejanza, te sugerimos visitar el sitio:

Criterios de semejanza (Applet)

En el siguiente sitio web podrás trabajar interactivamente comprobando el teorema de Thales:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/

TRIANGULOS SEMEJANTES

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Triángulos semejantes

 

1.      Definir el Teorema de Thales. Dadas dos o más rectas paralelas intersecadas por dos rectas transversales, los segmentos correspondientes determinados por las paralelas en cada secante son respectivamente proporcionales.

  imagen                                                          

   2.   Definir triángulos semejantes. Para hablar de semejanza de triángulos, primero se debe definir una correspondencia entre los elementos homólogos de ambos triángulos.

                                      imagen

 

    imagen

         Notar que:

i)       Si k = 1, los triángulos mencionados serán congruentes.

ii)      Si se quiere determinar la semejanza entre dos triángulos, es fundamental determinar primero la correspondencia entre los elementos homólogos.

iii)     Si se sabe que dos triángulos son semejantes, podremos determinar medidas de ángulos desconocidos y obtener longitudes de lados aplicando la proporcionalidad mencionada.

3.      Plantear ejemplos de triángulos semejantes y reconocer la correspondencia y las propiedades de la semejanza.

4.      Criterios para determinar la semejanza entre dos triángulos.

a) Criterio ángulo-ángulo (A-A). Si dos triángulos tienen dos ángulos interiores congruentes, entonces son  semejantes.

b) Criterio lado-ángulo-lado (L-A-L). Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

         c) Criterio lado-lado-lado (L-L-L). Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes respectivamente proporcionales, entonces son semejantes.

5.      Plantear y resolver ejercicios de demostración de  la semejanza de triángulos mediante la aplicación de los criterios de semejanza, por ejemplo, demostrar que en triángulos semejantes los elementos secundarios correspondientes también son proporcionales. Plantear y resolver ejercicios de aplicación en los cuales determinan medidas de ángulos o lados a partir de la semejanza de triángulos.

6.      Demostrar las siguientes propiedades.

         a) Si dos triángulos son semejantes y la razón de semejanza es  k, entonces la razón entre sus perímetros también es k.

         b)   Si dos triángulos son semejantes y la razón de semejanza es  k, entonces la razón entre sus áreas es k2.

7.      Plantear y desarrollar problemas de aplicación y análisis de triángulos semejantes.

Información

Técnica

Descripción BreveCuando dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes. En el siguiente recurso podrás repasar la materia relacionada con los triángulos semejantes.
Temas relacionados

>>Ficha Temática: Triángulos semejantes

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
2° medioMatemáticaGeometría

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