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Ficha temática

Propiedades angulares en la circunferencia

Te invitamos a repasar las propiedades angulares en la circunferencia. El recurso contiene ilustraciones que apoyan los contenidos.

Propiedades angulares en la circunferencia

Comencemos este breve estudio acerca de las propiedades angulares en la circunferencia describiendo algunos elementos básicos: 

Esquema con elementos básicos en la circunferencia

Segmento A O: radio.
Segmento A BE: diámetro.
Segmento A TE: es una recta secante.
Segmento PE CU: es una recta tangente.
ÁnguloAOT: es un ángulo del centro.
ÁnguloACT: es un ángulo inscrito.
ÁnguloATQ: es un ángulo semiinscrito.

Medida angular de un arco: La medida angular de un arco es equivalente a la medida del ángulo del centro que lo subentiende. 

Esquema de medida angular de un arco

Veamos a continuación una lista de propiedades angulares en la circunferencia:

i. Un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. 

Esquema de ángulo inscrito

ii. Ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son congruentes. 

Esquema de ángulos inscritos congruentes

iii. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 

Esquema de ángulo inscrito en una semicircunferencia

iv. En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos son suplementarios. 

Esquema de cuadrilátero inscrito en una circunferencia

En la figura, a + g = b + d = 180°

v. Toda recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. 

Esquema de recta tangente en una circunferencia

vi. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos tangentes, estos son congruentes. 

Esquema de dos segmentos tangentes en una circunferencia

En la figura         . 

vii. El ángulo formado por dos cuerdas equivale a la semi-suma de las medidas de los arcos que subentienden. 

Esquema de ángulo formado por dos cuerdas

En la figura Alfa es igual a la semi suma de las medidas de los arcos que se interceptan

viii. El ángulo formado por dos rectas secantes a una circunferencia equivale a la semi-diferencia de los arcos que subentienden. 

Esquema de ángulo formado por dos rectas secantes a una circunferencia

En la figura Beta es igual a la semi diferencia de los arcos que se interceptan

PROPIEDADES ANGULARES EN LA CIRCUNFERENCIA

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Propiedades angulares en la circunferencia

 

1.      Definir círculo y circunferencia.

Circunferencia es el “lugar geométrico” de todos los puntos del plano que están a una distancia fija r, llamada “radio de la circunferencia”, de un punto fijo del plano, llamado “centro de la circunferencia”. Por lo tanto, la circunferencia es una “longitud”. La longitud de la circunferencia de radio r es 2Pir.

El círculo es la región del plano contenida por el circulo, es decir, el círculo es una “superficie”. El área del círculo de radio r es Pir2.

2.      Definir los elementos secundarios en la circunferencia y en el círculo.

         En la circunferencia:

         a) Cuerda. Es un trazo o segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. La cuerda de mayor longitud en la circunferencia es la que pasa por el centro de ella y se denomina “diámetro” y su longitud es 2r (el doble del radio).

         b) Secante. Es una recta que corta (o interseca) a la circunferencia en dos puntos.

         c) Tangente. Es la recta o segmento de recta que corta a la circunferencia en un solo punto.

         d) Arco de circunferencia. Es un segmento de circunferencia limitado por dos puntos de ella. Toda cuerda determina un arco de circunferencia.

         En el círculo:

         e) Sector circular. Es la región comprendida entre dos radios y el arco de circunferencia determinado por los radios.

         f) Segmento circular. Es la región comprendida entre un arco y la cuerda que lo determina.

3.      Definir las relaciones angulares en la circunferencia.

         a) Ángulo del centro. Es el ángulo cuyos lados son radios de la circunferencia y cuyo vértice es el centro. Todo ángulo del centro determina un arco, una cuerda, un sector circular y un segmento circular. La medida del arco determinado por el ángulo del centro es igual a la de dicho ángulo, esto, en unidades angulares. Si queremos determinar la longitud del arco, debemos determinar la razón entre el ángulo del centro y el ángulo completo y multiplicarla por el perímetro de la circunferencia. Es decir, si el ángulo del centro es alfa y el radio de la circunferencia es r, entonces la longitud del arco es imagen.

 

         La  medida del sector circular es análoga a la longitud del arco, es decir, se determina la razón entre el ángulo del centro y 360º, pero en este caso se  multiplica por el área del circulo, o sea, la medida del sector circular es imagen.

         b) Ángulo inscrito en la circunferencia. Es el ángulo cuyos lados son cuerdas y su vértice es un punto de la circunferencia. Todo ángulo inscrito determina un arco, una cuerda y un ángulo del centro.

         c) Ángulo interior en la circunferencia. Es cualquiera de las aberturas formada por dos cuerdas que se cortan.

         d) Ángulo exterior a la circunferencia. Es la abertura formada por dos secantes, una secante y una tangente o dos tangentes.

4.      Propiedades y teoremas.

         a) El ángulo del centro determinado por un ángulo inscrito de medida alfa, mide 2alfa. Destacar que el ángulo inscrito y el ángulo del centro determinado por él, necesariamente subtienden el mismo arco.

         b) La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos determinados por las cuerdas, medidos en unidades angulares. Es decir, si los arcos determinados miden alfa y Beta, entonces el ángulo interior mide =imagen.

         c) La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos, medidos en unidades angulares, determinados por las secantes o tangentes que lo forman. Es decir, si los arcos determinados miden alfa y Beta, con alfa > Beta, entonces el ángulo exterior mide =Algebra.

         d) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Demostrar este teorema utilizando la propiedad a).

         e)Potencia del punto exterior a la circunferencia.

i)       Si se trazan dos secantes desde un punto exterior a la circunferencia, entonces el producto entre una secante por su segmento exterior es igual al producto entre la otra secante por su segmento exterior.

ii)      Si se trazan una secante y una tangente desde un punto exterior a la circunferencia, entonces la el cuadrado de la tangente es igual al producto de la secante por su segmento exterior.

iii) Las tangentes trazadas desde el mismo punto exterior a la circunferencia son congruentes.

5.      Plantear y resolver problemas de aplicación y análisis relativos a las relaciones angulares y a los segmentos proporcionales en la circunferencia.

Información

Técnica

Descripción BreveTe invitamos a repasar las propiedades angulares en la circunferencia. El recurso contiene ilustraciones que apoyan los contenidos.
Temas relacionados>>Recurso Interactivo: Tipos de ángulos
IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
2° medioMatemáticaÁlgebra

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