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Ficha temática

Sistemas de ecuaciones lineales

Las actividades propuestas favorecen la compresión del concepto de sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas a través de la resolución por el método de reducción.

Sistemas de ecuaciones lineales

1. Interpretación gráfica

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma: 

sistema de ecuación uno

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.

Gráficamente, la situación es la siguiente:

gráfico de sistema de ecuación uno

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones (reducción, igualación, sustitución), pero acá veremos solamente un ejemplo en el cual utilizaremos el método de reducción.

Ejemplo:

Resuelve el sistema de ecuaciones: 

sistema de ecuación dos

Solución: Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos: 

sistema de ecuación dos desarrollo

Sumando ambas ecuaciones, para eliminar una de las variables, se obtiene:

7x = 21 entonces x = 3

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo en la segunda, tenemos:

4 · 3 + 2y = 16 entonces y = 2

Por lo tanto la solución del sistema es el punto de coordenadas (3, 2).

Para ejercitar con problemas que se resuelven utilizando sistemas de ecuaciones, consulta el sitio:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuProblemas.html  (59 ejercicios propuestos)

2. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones

Al resolver el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma

sistema de ecuación tres

podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones: 

i. Infinitas soluciones

Esto sucede cuando las ecuaciones representan a la misma recta Y.

Se produce cuando los coeficientes de x, de y y los términos libres son proporcionales: 

ejemplo de infinitas soluciones

ii. Sin solución

Ocurre cuando el sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres: 
ejemplo de sin solución

iii. Solución única
Esto acontece cuando los coeficientes de x y de y no son proporcionales: 

ejemplo de solución única

Es conveniente aclarar que la proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que las pendientes de las rectas sean iguales, por lo tanto, es posible que: 

    Si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones.

    Si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene solución.

Ejemplo:

Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones: 

sistema de ecuación cuatro

Solución: Como el sistema no tiene solución (valga la redundancia), entonces debe ocurrir que: 

sistema de ecuación cuatro desarrollo uno

Y como evidentemente dos cuartos es distinto de tres , entonces podemos determinar p de la primera proporción:

IMAGEN 

En las siguientes direcciónes puedes profundizar más en las ecuaciones lineales y probar con algunos ejercicios:

http://www.acienciasgalilei.com/mat/problemas/ejerc1mat-sistecuaclin-1.htm

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/sg_e.html

 

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Sistemas de ecuaciones lineales

 

1.      Definir el concepto de ecuación de primer grado con dos incógnitas. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es del tipo ax + by + c = 0 con x e y variables y a, b y c constantes reales. Esta ecuación no tiene una solución única, pues para determinar una de las incógnitas dependemos del valor que tome la otra incógnita. Si construimos una tabla de valores con x como variable independiente e y como variable dependiente y luego graficamos las soluciones, obtenemos una línea recta en el plano cartesiano.

2.      Definir sistema de ecuaciones de primer grado. Un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas es un conjunto de 2 o más ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y es equivalente a tener dos  o más rectas en el plano cartesiano. En general, dos rectas en el plano cartesiano se intersecarán en un punto único correspondiente a la solución del sistema de ecuaciones. Por lo tanto, al resolver el sistema de 2 ecuaciones, estamos determinando los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones y que corresponden a las coordenadas del punto de intersección de las rectas asociadas a dichas ecuaciones.

Presentar un ejemplo gráfico. Graficar dos rectas dadas y mostrar las coordenadas del punto de intersección.

3.      Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones. Definir y desarrollar los tres métodos algebraicos más utilizados para resolver sistemas de 2 ecuaciones lineales.

         a) Método de reducción. Consiste en igualar los coeficientes de una de las variables en ambas incógnitas para luego reducirlas a una sola ecuación con una sola incógnita. Determinado el valor de esta incógnita, dicho valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se determina el valor de la otra incógnita. Aquí conviene recordar las propiedades de (, +, · ) vistas en álgebra. Plantear y desarrollar ejemplos.

         b) Método de igualación. Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones para luego igualar ambas ecuaciones. De esta forma tenemos una nueva ecuación con una sola incógnita, la que se resuelve de la forma ya conocida. Con el valor de esta incógnita determinado, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se determina el valor de la otra incógnita. Plantear y desarrollar ejemplos.

         c) Método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y la expresión resultante sustituirla en la otra ecuación, quedando una ecuación de primer grado con una incógnita, la que se resuelve, determinando el valor de ésta. Luego, dicho valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se obtiene el valor de la otra incógnita.

3.      Casos especiales. Al resolver algunos sistemas de 2 ecuaciones con cualquier método, puede ocurrir que no sea posible determinar la solución.

         a) Si la expresión final es una identidad verdadera (independiente de las incógnitas), entonces el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, como las ecuaciones representan rectas en el plano cartesiano, se trata de rectas coincidentes (se intersectan en todos sus puntos). En pocas palabras, las dos ecuaciones representan a la misma recta.

         b) Si la expresión final es una igualdad falsa, entonces el sistema no tiene solución, es decir las rectas representadas pos las ecuaciones no se intersectan, lo que en geometría se conoce como rectas paralelas.

         Plantear y desarrollar ejemplos de estas dos situaciones.

4.      Plantear ejercicios de aplicación y análisis de sistemas de ecuaciones.

Información

Técnica

Descripción BreveLas actividades propuestas favorecen la compresión del concepto de sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas a través de la resolución por el método de reducción.
Temas relacionados

>>Recurso Interactivo: Ecuación de la recta

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>>Recurso Interactivo: Sistemas que tienen más de dos incógnitas y más de dos ecuaciones

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>>Recurso Interactivo: Resolver un sistema de ecuaciones

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
2° medioMatemáticaÁlgebra

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