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Ficha temática

Transfomaciones isométricas

Una transformación isométrica es una transformación geométrica que conserva la medida de los lados de los ángulos. El siguiente recurso trata acerca de este tema, te invitamos a repasarlo.

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Una transformación isométrica es una transformación geométrica que conserva la medida de los lados y de los ángulos de la figura inicial. Es decir, una transformación isométrica convierte una figura en otra congruente a la original.

Las transformaciones que estudiaremos aquí son la traslación, el giro o rotación, la simetría axial o reflexión con respecto a un eje y la simetría central o reflexión con respecto a un punto.

2.1. Traslación

Cuando movemos paralelamente una figura en una dirección, lo que estamos efectuando es una traslación.    

 

Ejemplo de traslación

Observa que la traslación queda completamente determinada si conocemos el vector de la dirección del movimiento, ya que con él podríamos obtener la imagen de todos los puntos de la figura.

Traslación en un sistema cartesiano

Si el punto P(a,b) lo trasladamos en la dirección duv se transforma en el punto P’(a+u,b+v) Los valores u y v se denominan las componentes del vector traslación.    

Esquema de traslación en dirección vector de

 

Ejemplo: ¿En qué posición queda el punto A(-3,4) si lo trasladamos en la dirección d56?

Solución: Aplicando las componentes del vector traslación al punto A(-3,4) se obtiene:

 A’ (-3 + 5, 4 + 6) = A’(2, 10)

Propiedades de la traslación

Supongamos que el segmento segmento a be de la figura se ha trasladado en la dirección del vector vector de transformándose en el segmento segmento a be.   

 

Traslación del segmento a be en dirección vector de

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

(1) AB = A’B’
(2) ABB’A’ es un paralelógramo

Las propiedades anteriores se pueden demostrar a través de la congruencia de los triángulos ABA’ y B’A’B.

2.2. Giro o rotación

Si giramos una figura en torno a un punto O, obtenemos una figura congruente a la original.   

 

Ejemplo de rotación

Observa que el giro queda completamente determinado si conocemos el punto que utilizaremos como centro de rotación y el ángulo de giro. Por convención, el ángulo siempre se medirá en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj.

Rotación en un sistema cartesiano

La rotación en torno a un punto en un sistema cartesiano (por ejemplo el origen del sistema) se puede determinar fácilmente si el ángulo de rotación es un múltiplo de 90º. Si el ángulo es distinto a esto, su estudio excede el marco curricular de la PSU.

Rotación en 90° en torno a (0, 0): El punto P(x ,y) se transforma en el punto P’(-y ,x)    

 

Ejemplo de rotación en noventa grados

Rotación en 180° en torno a (0, 0): El punto P(x,y) se transforma en el punto P’(-x,-y)

Ejemplo de rotación en ciento ochenta grados

Rotación en 270° en torno a (0, 0): El punto P(x,y) se transforma en el punto P’(y,-x). Equivale a una rotación en -90° 

Ejemplo de rotación en doscientos setenta grados

Propiedades de la rotación

Supongamos que el segmento Segmento a be de la figura se ha rotado en torno al punto O en un ángulo a.     

  

Esquema de una propiedad de la rotación

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

(1) AB = A’B’
(2) Triángulo be o a es semejante con triángulo be prima o a prima

2.3. Simetría axial o Reflexión con respecto a un eje

Dados una recta L y un punto A de modo que el punto no esté contenido en ella.  

Ejemplo de reflexión

La reflexión del punto A respecto de la recta L es un punto A’; tal que se cumplen las siguientes condiciones:

(1) Segmento a a prima es perpendicular a recta ele
(2) AP = PA’

Observaciones:

  • Si el punto A pertenece a la recta L, su imagen es el mismo punto.
  • Se dice que A’ es el simétrico de A con respecto a L o que A’ es la imagen de A con respecto a L.

Propiedades de la simetría axial 

Supongamos que el segmento Segmento a be de la figura se ha reflejado con respecto a la recta L, transformándose en el segmento segmento a prima be prima .  

a

Entonces, se tienen las siguientes propiedades:
(1)  AB = A’B’
(2)  AA’ // BB’
(3)  L es la simetral de aa y de bb
(4)  L es un eje de simetría del cuadrilátero AA’B’B
(5)  Al reflejar una figura en torno a un eje, se obtiene una figura congruente con la inicial.

Simetría respecto de los ejes en un sistema cartesiano

Reflexión con respecto al eje X: El punto P(x, y) se transforma en el punto P’(x,-y).

reflexión

Reflexión con respecto al eje Y: El punto P(x, y) se transforma en el punto P’(-x, y).

reflexión2

Ejemplo: ¿Qué coordenadas tiene el punto simétrico de A(-3, 4) si se refleja respecto del eje X y después respecto del eje Y?
Solución:  Si A se refleja respecto del eje X, A(-3, 4) se transforma en A’(-3,-4). Luego, si A’ se refleja respecto del eje Y, A’(-3,-4) se transforma en A’’(3,-4). Por lo tanto, la respuesta es: (3,-4)

2.4. Simetría central o reflexión con respecto a un punto

Supongamos que tenemos un punto P y un punto O diferente de P.

pop

La reflexión de P respecto de O es un punto P’ que cumple las siguientes condiciones:
(1)  O, P y P’ son colineales
(2)  OP = OP’

Propiedades de la simetría central

Supongamos que el segmento ab de la figura se ha reflejado con respecto al punto O, transformándose en el segmento ab2.

rombo

Entonces, se tienen las siguientes propiedades:
(1)  AB = A’B’
(2)  ABA’B’ es un paralelogramo

Observaciones:
- Al efectuar una reflexión a un segmento respecto de un punto, se obtiene un segmento paralelo y congruente al inicial.
- Si un punto coincide con el centro de simetría, su imagen es el mismo punto.
- Al reflejar una figura respecto de un punto, se obtiene una figura congruente con la inicial.

Simetría central con respecto al origen en un sistema cartesiano

Reflejar un punto con respecto al origen es equivalente a efectuar un giro en 180° en torno a este punto, por lo tanto, la reflexión de P(x, y) es el punto P’(-x,-y)

pyp

Para mayor información acerca de congruencias y transformaciones isométricas, te sugerimos los siguientes sitios:
• Simetría central
• Congruencia y transformaciones isométricas

 

 TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

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1.      Definir “transformación” como un movimiento que produce cambios en una figura geométrica. El resultado de una transformación se denomina “imagen”. Una “transformación isométrica” es aquella en que la figura inicial y su imagen son congruentes. Son transformaciones isométricas la “simetría”, la “traslación” y la “rotación”.

2.      Definir simetría central: Dados un punto P y otro punto O, llamado centro de simetría, fijos en el plano de manera que la distancia entre O y P sea d, la imagen P’ de P es el punto situado en la dirección de  imageny en el lado opuesto de P respecto de O (figura 1).

        imagen          imagen       imagen

 

 

 


         Aplicar la simetría central a una figura consiste en reflejar cada punto de la figura respecto de un centro de simetría O (figura 2). Una figura presenta simetría central si es posible encontrar un punto fijo O tal que, para cada punto P de la figura, existe otro punto P’ en la figura que sea imagen de P respecto de O (figura 3).

 

3.      Definir simetría axial. Dados un punto P fijo y una recta L en el plano, tal que la distancia de P a la recta es d, la imagen P’ de P es el punto situado a la misma distancia d de la recta y en el lado opuesto de P respecto de la recta L. La recta L es el eje de simetría y corresponde a la simetral del trazo imagen (figura 1).

L

P’

P

Fig. 3

       imagen        imagen     imagen

 

 

 

 

 

 

Aplicar la simetría axial a una figura consiste en reflejar cada punto de la figura respecto de un eje de simetría L (figura 2). Una figura presenta simetría axial si es posible encontrar un recta L tal que, para cada punto P de la figura, existe otro punto P’ en la figura que sea imagen de P respecto de la recta L (figura 3).

3.      Definir el movimiento de traslación en el plano cartesiano. Dado un punto P de coordenadas (x, y) y un vector imagen de componentes (a, b), trasladar el punto P según el vector imagen es obtener un nuevo punto P’, llamado imagen de P, tal que las coordenadas de P’ son (x + a, y + b) (figura 1).

x

a

x+a

X

Y

b

y+b

P

P’

y

Fig. 1

X

Y

P’

Fig. 3

P

 

 

   imagen    imagen   imagen

 

 Aplicar una traslación a una figura consiste en trasladar cada uno de sus puntos según un vector imagen (figura 2). Una traslación también se puede comprender como la suma de dos movimientos, uno horizontal (según la componente x del vector) y otro vertical (según la componente y) análogo a una suma de vectores (figura 3).

4.      Definir el movimiento de rotación en el plano cartesiano. Dados un punto P y un punto fijo O del plano, llamado centro de rotación, la rotación de P en un ángulo  respecto de O es un punto P’, llamado imagen de P, tal que el ángulo POP’ es igual a  (figura 1). Para efectos del sentido del giro, se entiende como un ángulo positivo al giro en sentido contrario a las manecillas de un reloj.

 

 

 

 

         imagen        

 

 

Aplicar una rotación  a una figura respecto de un punto O, consiste en rotar cada uno de sus puntos en un ángulo  respecto del centro de rotación O (figura 2). En general, se restringen las rotaciones a ángulos sencillos de representar en un plano cartesiano, como 45º, 60º, 90º, 120º, 180º, etc. En algunos de estos casos, una técnica útil consiste en definir un rectángulo con el centro de rotación y uno de los puntos de la figura en los extremos de la diagonal del rectángulo, como se muestra en la figura 3, donde la flecha se rota en 90º en torno a O.

5.      Plantear y desarrollar ejercicios de comprensión, aplicación y análisis con los tópicos tratados.

Información

Técnica

Descripción BreveUna transformación isométrica es una transformación geométrica que conserva la medida de los lados de los ángulos. El siguiente recurso trata acerca de este tema, te invitamos a repasarlo.
Temas relacionados

>>Recurso Interactivo: Transformaciones isométricas II

>>Presentación: Geometría

>>Recurso Interactivo: Transformaciones por rotación

IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
1° medioMatemáticaNúmeros
1° medioMatemáticaGeometría

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