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Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado es una ecuación en la cual, después de realizar las operaciones y reducir términos semejantes, el máximo exponente de la incógnita es uno. A continuación te invitamos a estudiar este tipo de ecuaciones.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una ecuación de primer grado es una ecuación en la cual, después de realizar las operaciones y reducir los términos semejantes, el máximo exponente de la incógnita es 1.

Para resolver una ecuación de primer grado se debe trasponer los términos, esto es: traspasarlos de un lado (o miembro de la ecuación) al otro de la igualdad, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro. Este procedimiento se conoce como “despejar la incógnita” de la ecuación.

Cada vez que transponemos un término cambia de signo debido a la aplicación de la propiedad del inverso aditivo  u opuesto, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación: (x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)

Primero desarrollamos los productos notables:

x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – (x - 4)

Ahora se eliminan los paréntesis: 

x2 + 6x + 9 – x2 + 2x - 1 = 3x – x + 4;

Ahora trasponemos los términos:

x2 + 6x – x2 + 2x -3x + x = 4 – 9 + 1;

Luego reducimos los términos semejantes:

6x = -4 ;

Y dividiendo esta expresión por 6:

x = -4/6 ;

Finalmente simplificando por 2 se obtiene x = -2/3

1. Ecuaciones literales de primer grado

Una ecuación literal de primer grado, es aquella que contiene otras expresiones literales además de la incógnita, que se consideran valores constantes.

Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla. Ejemplo: 

ax – b(x - 1) = 3(x + a)

Tal como en el caso anterior efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y transponemos términos:

ax – bx + b = 3x + 3a

ax – bx – 3x = 3a – b;

 Ahora, extraemos el factor común x en el primer miembro de la ecuación:

x(a – b – 3) = 3a – b

y dividiendo la ecuación por el factor (a - b - 3)

 

x es igual a tres a menos b partido por a menos b menos tres

2. Planteo de ecuaciones de primer grado

Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas transformar un enunciado en una expresión algebraica.

A continuación te entregamos una lista de transformaciones útiles:

El doble de a.........................................................  2a

El triple de b...........................................................  3b

El cuádruplo de c...................................................  4c

El cuadrado de d....................................................  d2

El cubo de e...........................................................  e3

El antecesor del  entero f..................................  f–1

El sucesor del  entero g ...................................  g+1

El cuadrado del doble de h...................................  (2h)2

El doble del cuadrado de i.....................................  2i2

Un número par......................................................  2n

Un número impar .................................................2n-1 ó 2n+1

Dos números consecutivos....................................n y n+1

Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n+2

Dos números impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1

La mitad de x..........................................................   x partido por 2

La tercera parte de y ..............................................   y partido por tres

Para mayor ejercitación acerca de interpretación de enunciados, te sugerimos visitar la página:

Guía de ecuaciones 

Veamos a continuación un par de ejemplos de planteo de ecuaciones:

Ejemplo 1:

Hallar dos números consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9.

Sean x y x + 1 los números buscados, entonces, según el enunciado dado, escribimos:

(x + 1)2 – x2 = 9;

desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:

x2 + 2x + 1 – x2 = 9

2x + 1 = 9

2x= 9 - 1

x=

x = 4;

por lo tanto los números buscados son 4 y 5.

Ejemplo 2:

Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto y sus edades suman 97. ¿Qué edad tiene el menor?

Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, tenemos la ecuación:

x + 2x + 1 = 97

3x = 97 - 1

3x = 96

x = 32,

Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 años y la de Sergio es 65 años, por lo tanto el menor tiene 32 años.

FÓRMULAS DE PERÍMETROS, SUPERFICIES Y VOLUMENES

1. Fórmulas lineales.
a) El perímetro de cualquier polígono equivale a la suma de sus lados
b) El perímetro de un polígono de n lados de longitud a es na.
c) El perímetro de una circunferencia de radio r es 2 • pr.

Ejemplo 1. El perímetro de un triángulo equilátero de lado 5 cm es 3 • 5 cm = 15 cm

Ejemplo 2. ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo de largo 25 cm y cuyo ancho es la mitad del largo?

Solución. Perímetro rectángulo = 25 + 12,5 + 25 + 12,5 = 75 cm.

Ejemplo 3. El perímetro de una circunferencia de radio 1,5 m es  2 • p • 1,5 m = 3p m

Ejemplo 4. El perímetro de un pentágono regular de lado 6 cm es 5 • 6 cm = 30 cm.

Ejemplo 5. La figura muestra 6 circunferencias congruentes de 6 cm de diámetro y tangentes entre sí.  Si A, B y C son los centros de las circunferencias respectivas, entonces ¿cuál es el perímetro del Δ ABC? ¿Cuánto suman las longitudes de todas las circunferencias?

triángulo

Solución. Si el diámetro de las circunferencias es 6 cm, entonces cada radio mide 3 cm. El lado AB del triángulo está formado por el radio de la circunferencia A, por el diámetro de la circunferencia central y por el radio de la circunferencia B, por lo tanto:
AB = 3 + 6 + 3 = 12 cm.
y como el triángulo ABC es equilátero, entonces su perímetro es 3 • 12 cm = 36 cm.
Las 6 circunferencias tienen una longitud total de 6 • 2 • p • 3 cm = 36p cm

2. Fórmulas cuadráticas.

a) Área de triángulo de base b y altura h =  fórmula
    Área del triángulo equilátero de lado afórmula

b) Área de un paralelogramo de base a y altura h = a • h 
    Área de un cuadrado de lado a = a2 
    Área de un rombo de diagonales e y f = fórmula

c) Área de un trapecio de bases a y b y altura hfórmula
d) Área del círculo de radio rpr2

Ejemplo 1. El área de un triángulo equilátero de lado 2 cm es fórmula cm2

Ejemplo 2. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide 2,5 m y su altura es igual a los fórmula de la base?

Solución. Área rectángulo = fórmula

Ejemplo 3. ¿Cuál es el área de un rombo de lado 5 cm y cuya diagonal mayor mide 8 cm?

rombo

Solución. Para determinar las medidas de la otra diagonal, planteamos el teorema de Pitágoras, recordando que las diagonales se dimidian.

triángulo rectángulo  ecuación

Por lo tanto, la diagonal menor del rombo mide 2 • 3 = 6 cm
Finalmente, el área del rombo mide ecuación cm2.

Ejemplo 4. ¿Cuánto mide la altura de un trapecio cuyas bases miden 5,5 cm y 2,5 cm y cuya superficie mide 14 cm2?

Solución. Área trapecio = 14 cm2 = e3

Ahora despejamos la incógnita.

e4

Ejemplo 5. El cuadrilátero ABCD está formado por dos triángulos rectángulos congruentes donde AB= 8 cm. ¿Cuál debe ser la medida de AC  para que el área del paralelogramo sea 120 cm2?

cuadrilátero

Solución. Área paralelogramo = ABAC =120 cm2

Despejando AC tenemos:

e8

Ejemplo 6. ¿Cuál es el radio de un círculo cuya superficie mide 20p cm2?

Solución. Área del círculo = pr2 = 20p cm2

Despejando r tenemos:

er

3. Cuerpos geométricos.

a) Paralelepípedo de largo a, ancho b y altura h.
 Volumen = a • b • c
 Superficie total = 2(ab + ah + bh)

b) Hexaedro regular o cubo de arista a.
 Volumen = a3 
 Superficie total = 6a2 
 Diagonal =  ra3

c) Prisma regular recto de n lados, arista basal a y altura h.
 Volumen = área basal x altura = área basal • h
 Superficie total  = 2 • área basal + área lateral = 2 • área basal + n • a • h

d) Esfera de radio r.
 Volumen = ve
 Superficie = 4 • pr2

e) Cilindro recto de radio basal r y altura h.
 Volumen = Área basal x altura = pr2h
 Superficie total = 2 • área basal + área del manto = 2 • pr2 + 2 • p r • h

f) Cono recto de radio basal r, altura h y generatriz g.
 Volumen =  vc
 Generatriz = g =  g3
 Superficie total = área basal + área del manto = pr2pr • g

Ejemplo 1. ¿En cuánto aumenta el volumen de un paralelepípedo si su largo se duplica, su ancho se reduce a la mitad y su altura se mantiene constante?

Solución. Asignamos las dimensiones iniciales como l = largo, a = ancho y h = altura. Entonces, el volumen inicial es:

Vol i = l • a • h

Las dimensiones después de la variación son: largo = 2 • l, ancho = a2 y altura = h, Luego, el volumen final es:

Vol fvf = l • a • h 

Por lo tanto, concluimos que el volumen del paralelepípedo no varía.

Ejemplo 2. ¿Cuánto debe medir la arista de un cubo para que el módulo de su superficie sea equivalente al módulo de su volumen?

Solución. Sea a la arista del cubo. Entonces, igualamos la expresión de su superficie total con la expresión de su volumen y despejamos la variable a.

ac

Ejemplo 3. A un cilindro macizo recto de radio basal 4 cm y altura 20 cm, se le hacen dos cortes, uno vertical según su eje de simetría y otro transversal por la mitad del manto, resultando 4 piezas congruentes.  ¿Cuál es la superficie total, en cm², de una de las piezas?

Solución. Basémonos en un esquema para resolver este problema.

cubo

En la pieza resultante observamos:
i) La cuarta parte del manto del cilindro
ii) Dos semicírculos de radio 4 cm
iii) Un rectángulo de largo 8 cm y altura 10 cm

Por lo tanto, la superficie total de la pieza equivale a la suma de las superficies ya determinadas.

Sup. Total = sup t

Ejemplo 4. Determinar el volumen de un cono recto si la superficie del manto es 260p cm² y el radio basal mide 10 cm.

Solución: Superficie del manto = pr • g.  Reemplazando los datos tenemos:

pi
 
Ahora ocupamos la fórmula de la generatriz para despejar la altura del cono. hc
 
Finalmente calculamos el volumen del cono como vc

vc

Ejemplo 5. Si la superficie de una esfera de 3 cm de radio se duplica, ¿cuánto mide el volumen de la nueva esfera?

Solución. La esfera de 3 cm de radio tiene una superficie inicial de 4 • p • 3² = 36p cm². Si duplicamos la superficie, el nuevo valor será 2 • 36p =72p cm².

Ahora igualamos el último valor con la fórmula de la superficie para la nueva esfera y así poder determinar su radio R.

ejemplo

Finalmente calculamos el volumen de la nueva esfera.

ejemplo

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

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Ecuaciones de primer grado

 

1.   Definir los conceptos de “identidad” y de “ecuación”. Diferenciar ambos conceptos. Señalar los elementos constitutivos de una ecuación. Destacar el sentido de equilibrio entre los miembros de una ecuación dado por el signo igual.

2.   Desarrollar el método para resolver una ecuación. Despejar una ecuación consiste en la aplicación adecuada de las propiedades del cuerpo (, +, · ) para aislar la incógnita. Poner énfasis en las propiedades aplicadas: elemento neutro aditivo, elemento inverso aditivo u opuesto, elemento neutro multiplicativo, elemento inverso multiplicativo y factorización. Evitar usar reglas del tipo “el que está sumando pasa restando y viceversa” y “el que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa”.

3.   Plantear y resolver diversos tipos de ecuaciones: con coeficientes enteros, con coeficientes fraccionarios, con coeficientes decimales, con coeficientes combinados, literales, etc. Guiar a los estudiantes para mantener un orden formal al momento de resolver una ecuación: los desarrollos verticales y alineados por el signo “=” facilitan la verificación de los procedimientos aplicados.

4.   Desarrollar abundante ejercitación que ponga énfasis en la comprensión y aplicación de los procedimientos enseñados.

Información

Técnica

Descripción BreveUna ecuación de primer grado es una ecuación en la cual, después de realizar las operaciones y reducir términos semejantes, el máximo exponente de la incógnita es uno. A continuación te invitamos a estudiar este tipo de ecuaciones.
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IdiomaEspañol (ES)
Autoreducarchile
Fuenteeducarchile
Clasificación Curricular
NivelSectorUnidad o eje
1° medioMatemáticaNúmeros
1° medioMatemáticaÁlgebra

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