Portada

Raíces

1. Raíces cuadradas y cúbicas

Comencemos el estudio de las raíces haciéndonos la siguiente pregunta:
Si el área de un cuadrado es 64 cm², ¿cuál es la medida de su lado?
Para responder esto debemos encontrar un número positivo que multiplicado por sí mismo dé cómo resultado 64. Este número se denomina raíz cuadrada de 64 y es 8.
Y si el área de un cuadrado es 15 cm², ¿cuál es su lado?
Para responder esto debemos encontrar un número positivo que multiplicado por sí mismo dé 15. Este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729.
Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que:

Por otro lado, la igualdad: se cumple solo si x > 0, ya que si tenemos , esto no es igual a -3, porque el resultado de la multiplicación de dos números negativos es un número positivo.

Por lo tanto:  Para cualquier valor real de x.

¿Existe, entonces, la raíz cuadrada de un número negativo? Y si existe, ¿cómo se calcula? Si en la raíz: , a es negativo, entonces la raíz no es un número real, y se debe determinar como un número imaginario.

Por ejemplo:

 siendo

Las raíces cuadradas de números negativos no están definidas en los números reales y aunque en algunas calculadoras científicas al tratar de calcularlas aparece ERROR, esto significa que no tiene valor en R (reales) porque es un número imaginario.

Y si el volumen de un cubo es 64 cm³, ¿cuál es la medida de su arista?
Para responder esto debemos encontrar un número positivo que multiplicado por sí mismo tres veces, sea 64. Este número se denomina raíz cúbica de 64 y es 4, puesto que   4 • 4 • 4  = 64.
Por lo tanto, si la raíz es cúbica, tenemos que:

En este caso, si a es negativo, entonces b resulta ser también negativo, porque el resultado de la multiplicación de tres números negativos será otro negativo. Por otro lado, si a es positivo, b también será positivo, debido que al multiplicar tres números positivos, el resultado tendrá signo positivo.
Por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real.

Definiendo en forma general:

2. Raíces y potencias de exponente fraccionario

La raíz de número se puede definir también mediante una potencia de exponente fraccionario: 

Donde n es el índice de la raíz, y m el índice de la cantidad sub radical.
Como vimos anteriormente, cuando no aparece n (índice de la raíz) se entiende que su valor es dos (raíz cuadrada).
Esta definición está sujeta a las siguientes restricciones:
- Las raíces de índice par están definidas solo para números reales positivos.
- Las raíces de índice impar están definidas para todo número real.

Debido a que las raíces pueden convertirse en potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias.

3. Propiedades de las raíces

1. Multiplicación de raíces de igual índice 
 ya que

2. División de raíces de igual índice 
 ya que

3. Raíz de raíz 

4. Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice 
 ya que

5. Propiedad de amplificación 
 ya que 

6. Ingreso de un factor dentro de una raíz 
 ya que 
 
Además:  ya que  0 n = 0 ; y  ya que  1n = 1

Observación: las propiedades a